Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Segittek megoldani egy nagyon...

Segittek megoldani egy nagyon erdekes matek feladatot?

Figyelt kérdés
Bizonyitsuk be,hogy minden pozitiv egesz n szamhoz talalhato n darab szomszedos pozitiv egesz szam ugy,hogy egyikuk sem egyenlo egy primszam egesz kitevoju hatvanyaval?

2015. márc. 28. 13:33
 1/6 Tom Benko ***** válasza:
Vedd az első n prímet, és szorozd őket össze.
2015. márc. 29. 09:18
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/6 bongolo ***** válasza:

Tom, az nem elég, a prímhatványokat úgy nem lehet figyelembe venni.


Kérdező, olyasmi irányba lehet talán elmenni, hogy egy N küszöbig a prímek számára adható felső becslés (lásd prímszámtétel), valamint a prímhatványok számára is, hogy legfeljebb Σ N^(1/k) darab lehet belőlük k=2-től végtelenig. Lásd:

[link]

Vagyis a prímek plusz prímhatványok száma N-ig kb ennyi:

ν(N) = O(N / ln N + √N·ln N)

Persze nem ez kell neked, hanem egy felső becslés, de az is ilyesmi lesz, nézz utána.


Ebből pedig N / ν(N) adja a közöttük lévő átlagos távolságot:

δ(N) = O(1/ln N + ln N / √N)


Található olyan N küszöb, amire δ(N) > n, tetszőleges n-hez, ezzel bizonyítottuk a tételt.


Az ordó helyett jobb lenne valamilyen felső becslés, azt rád bízom.


Valószínű van egyszerűbb bizonyítás is, de most nem jut más az eszembe.

2015. márc. 29. 10:40
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/6 bongolo ***** válasza:

Hülyeséget írtam a végén, δ(N) = N/ν(N), nem pedig a reciproka, ahogy írtam.

De a gondolatmenet szerintem jó, próbáld kifejteni.

2015. márc. 29. 15:44
Hasznos számodra ez a válasz?
 4/6 Tom Benko ***** válasza:
@bongolo: Igaz, pont a \left(\prod P_i\right)+1 lesz prím. Az összes többi esetben legalább két különböző prím szorzata lesz, úgyhogy ettől függetlenül szerintem ez így jó lesz, csak finomítani kell.
2015. márc. 30. 06:48
Hasznos számodra ez a válasz?
 5/6 bongolo ***** válasza:

Nem lesz feltétlenül két különböző prím szorzata az összes többi esetben! Ellenpéldák:


n=1: Πpᵢ + 1 = 3, +1=4 = 2²

n=2: Πpᵢ + 1 = 7, +1=8 = 2³, +2=9 = 3²

n=3: Πpᵢ + 1 = 31, +1=32 = 2⁵


Nincs arra garancia, hogy nagyobb n-eknél is ne jönnön be egy prímhatvány.

2015. márc. 30. 11:02
Hasznos számodra ez a válasz?
 6/6 Tom Benko ***** válasza:
@bongolo: Na mindegy, akkor még finomítok rajta. Indulásnak jó lesz.
2015. márc. 31. 07:29
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!