Melyik az a háromszög, melynek pontosan két szimetriatengelye van?

Bizonyítás: tegyük fel, hogy van ilyen háromszög. Az biztos, hogy a szimmetriatengely minden esetben 1 csúcson és a szemközti oldal felezőpontján megy át.

Vegyünk egy ABC háromszöget, és tegyük fel, hogy az A csúcson keresztül megy át szimmetriatengely, ekkor az AB és AC oldalak hossza egyenlő, tehát |AB|=|AC|.

Kell nekünk egy másik szimmetriatengely, ez menjen át a B csúcson, ez esetben |AB|=|BC|. De ha így van, akkor |BC|=|AC| (az ekvivalencia-reláció miatt), ekkor viszont szabályos háromszöghöz jutottunk, aminek köztudott, hogy 3 szimmetriatengelye van, ami meg nem 2.

Tehát pontosan 2 szimmetriatengellyel nem rendelkezik (sík)háromszög.

Ha ez egy feladat volt, akkor valószínűleg azt a választ várják tőled, hogy nincsen ilyen háromszög.

Van azonban mégis ilyen háromszög... Úgy hívják, hogy elfajult háromszög. Pontosabban elfajult egyenlő szárú háromszög. Úgy néz ki, hogy a C csúcs az AB oldal felezőpontjával esik egybe. Az egyik szimmetriatengely az AB oldalegyenes, a másik szimmetriatengely az AB oldal szakaszfelező merőlegese.