Hogyan szerkeszthető derékszögű háromszög, ha adott a beírt kör sugara és a körülírt kör sugara?

Nagyon szép feladat!

Nekem nincs függvénytáblám, így nem tudom, abban milyen megoldás szerepel. :-)

Ezért fogtam egy papírt meg ceruzát és elkezdtem rajzolgatni.

Nagyon hamar kiderül, mi kell a megoldáshoz.

Mivel ismert a körülírt kör sugara (R), ezzel adott a derékszögű háromszög átfogója (c = 2R) is.

A beírt kör középpontja az átfogóval párhuzamosan 'r' távolságban húzott egyenesen lesz valahol.

A pontos helyének kijelöléséhez csak a beírt és körülírt kör középpontjának távolságát (d) kellene tudni.

Megrajzolva egy derékszögű háromszöget a beírt körével együtt, kiderül, hogy egy Pitagorasz tétel kell csak a keresett távolsághoz, amint a következő ábra mutatja:

[link]

Az ábrán látható végeredmény azt mondja, hogy a két középpont távolsága az R és a (R - 2r) távolságok mértani közepe.

A derékszögű háromszög magasságtételét felhasználva a szerkesztés könnyen elvégezhető.

[link]

Ezek után a szerkesztés lépései:

1. Az 'e' egyenes meghúzása

2. Az F pont felvétele, majd jobbra és balra R távolsággal az A és B pont kijelölése

3. Az 'e' egyenessel párhuzamosan, attól 'r' távolságra az 'f' egyenes meghúzása

4. Az 'e' egyenesen az A pontból az R' = R - r távolsággal a P középpont kijelölése

5. A P középpontú R' sugarú Thalesz kör meghúzása

6. Az F pontból az 'e' egyenesre merőleges szakasszal a körön a D pont kijelölése (FD = d)

7. Az F pontból mint középpontból a 'd' távolsággal az 'f' egyenesen az O pont kijelölése és a beírt kör megrajzolása

8. Az O pontból az 'e' egyenesre merőlegesen a T érintési pont kijelölése

9. Az A pontból, mint középpontból az AT távolsággal a körön az A' érintési pont kijelölése

10. A B pontból, mint középpontból a BT távolsággal a körön a B' érintési pont kijelölése

11. Az AA' és a BB' pontokon át húzott egyenesek meghosszabbítása megadja a a háromszög C pontját.

Ezzel a feladatot megoldottuk! :-)

A következő rész csak egy kis kiegészítés, de szorosan a témához tartozik.

Két kérdés merülhet fel a feladattal kapcsolatban:

1. Hogy lehet számítással megoldani?

2. Két tetszőlegesen felvett távolság lehet-e ugyanazon derékszögű háromszög beírt és körülírt körének a sugara?

A válaszok a következő ábrán láthatók:

[link]

A második kérdésre a válasz: a megoldhatóságra kapott összefüggés szerint, ha a két sugár hányadosa (R/r) kielégíti a kapott egyenlőtlenséget akkor megoldható a feladat, egyébként nincs megoldás.

Remélem sikerült érthetően előadni a mondanivalómat, ha mégis lenne kérdés, állok elébe! :-)

DeeDee

**********