Hogy kell megoldani?

1 lépés) Legyen a ABCD trapéz, ahol AC, AD átlók. Így tudjuk, hogy T = AC * BD / 2

2) Az egyik átlóról tudjuk, hogy 12 cm, a másikról csak annyit tudunk, hogy 8/5-e az oldalnak. (az átló és a rombusz oldalának aránya 8/5 kb ezt jelenti)

3)

Azt is tudjuk, hogy az átlók kiszámíthatóak a rombusz szögeinek segítségével:

Az egyik átló (ami átfut A-n) = (1/2) oldal cos(A)

A másik átló (1/2) oldal sin(A)

Ebből már kiszámíthatjuk az A szöget, mivel tudjuk, hogy az átló 12 cm:

1) 12 = 1/2 oldal cos(A)

2) 8/5 oldal = (1/2) oldal sin(A)

A 2) egyenletet végigosztjuk oldallal (ami lehetséges, mert egy oldalhosszúság nem lehet nulla:

8/5) = (1/2) sin(A) => sin(A)

sin(A) = 16/6 = 2 egész 4/6 = 2/3

Most már tudjuk, hogy sin(A) = 2/3, most kiszámítjuk cos(A)-t:

cos²(A) + sin²(A) = 1 tételt használjuk:

cos²(A) = 1 - 4/9 = 5/9

=> cos(A) = gyök(5)/3 (a trapéz szögei hegyesszögek, ezért nem negatív a cos, sin)

Most már kiszámíthatjuk az oldalhosszúságot az (1) egyenletből:

12 = (1/2) oldal cos (A) =>

oldal = 24 * 3/gyök(5) = 24 gyök(5) / 15

...

A második átlóról tudjuk, hogy 8/5-e az oldalnak =>

=> rombusz_átló = 24 gyök(5)/15 * 8/5 = ...

Most már kiszámolhatod az területet....

Lerajzoltad?

A rombusz negyede egy derékszögű háromszög.

a másik átló FELE és a rombusz oldalának aránya 4:5

Nem ismerős a Pithagoraszi számhármasokból?

Ha nem, akkor számítsd ki: x^2 + 4^2 = 5^2

Innen már csak egy aránypár, és megvan a rombusz másik átlója, területe.

Legyen

e, f - a két átló

a - a rombusz oldala

e = 12 - az ismert átló

q = f/a - a másik átló és az oldal hányadosa

T = ?

Az átlók által feldarabolt rombusz egy negyede egy derékszögű háromszög, melynek befogói egyenlők az átlók felével, az átfogója pedig a rombusz oldala. Erre a háromszögre felírva a Pitagorasz tételt:

(e/2)² + (f/2)² = a²

A négyzetre emelés és a törtek eltüntetése után

e² = f² = 4a²

Mindkét oldalt elosztva a²-tel

e²/a² + f²/a² = 4

e²/a² + (f/a)² = 4

A második tag az ismert hányados négyzete, így

e²/a² + q² = 4

Ebben az egyenletben csak a rombusz oldala ismeretlen, ezt kifejezve

a² = e²/(4 - q²)

ill.

a = e/√(4 - q²)

A másik átló az ismert arányból

f = a*q

f = e*q/√(4 - q²)

A rombusz területe

T = e*f/2

T = (e²/2)*q/√(4 - q²)

===============

DeeDee

*******