R sugarú, m tömegű tömör henger súrlódásmentes csapágyban vízszintes tengely körül foroghat, erre elhanyagolható tömegű fonalat csavarunk, melynek szabad végére m tömegű testet függesztünk. Mekkora a henger szöggyorsulása?

Lehet hogy túl régen tanultam fizikát, de nekem β = 2g/r eredmény jött ki. Levezetve:

A hengerre ható nyomaték: M = m·g·r = Θ·β = ½·mr²·β

Ahol Θ a tehetetlenségi nyomaték, ami tömör henger esetében ½·mr².

A fenti egyenletből a β = M/Θ = (m·g·r) / (½·mr²) = g/(½·r) = 2g/r

A tehetetlenségi nyomatékot nem a henger szimmetriatengelyére(középre) kell felírni, hanem a szélére, ahol a fonál még épp érintkezik vele. Steiner-tétellel átszámolva oda a nyomaték:

1/2*m*r^2 + m*r^2 = 3/2*m*r^2

Jobb ezt helyre tenni. Az általad felírt két egyenlet jó, de hiányzik még egy, ami a két test közötti kényszert fejezi ki. Ezt ugye a fonál okozza, tehát a=-béta*r a harmadik egyenlet az egyenletekhez tartozó koordinátarendszerben.

A nyomatéki egyenletet fel szabad írni a rögzített tengelyre is, meg a kötél érintkezési pontjára is, ahol valóban más lesz a tehetetlenségi nyomaték, de más erőnek lesz arra a pontra nézve nyomatéka, nem a kötélerőnek, és nagyon nem a másik test nehézségi erejének, mert az nem a hengerre hat(!), hanem a tengelynél ható kényszererőnek lesz nyomatéka. Ez elsőre ismeretlen, de ha a hengerre felírjuk a TKP-ra vonatkozó sima Newton egyenletet, akkor kiderül, hogy annak nagysága megegyezik a kötélerővel+a henger nehézségi erejével, így marad a TKP nyugalomban.