Egy csillapodó rezgő mozgást végző test 30s alatt 60 rezgést végez és közben amplitúdója 30%-al csökken. Mennyi a test saját frekvenciája?

Első vagyok, ne bolondozzatok már! Ott kezdődik az oktatás problémája hogy a diákokba azt sulykolják bele, hogy adunk 3 számot és abból konstruáljunk egy negyediket aztán viszlát!

Szomorú, de ez van. Legalább annyi úristenünk lenne hogy a fv. tábla heves forgatása közben gondolkodjunk már egy kicsit, vessünk pár pillantást a megadott adatokra.

Gondoljuk át, mit jelentenek és próbáljuk magunk elé diagramban elképzelni. Tudjátok egyáltalán hogy mit jelent az, hogy ott van a rugón az a szerencsétlen tömeg, rezeg mint a barom és azért sem akar megállni. 60 db lengést kell neki végezni ahhoz, hogy végre a rugóban ébredő súrlódás megegyen 30% amplitúdóveszteséghez tartozó energiát.

Persze a disszipáció miatti energiaveszteség az idő lefolyásával csökken mégpedig exponenciálisan. (Ez egyszerűen belátható, aki konyít valamit a közönséges állandóegyütthatós, lineáris, homogén differenciálegyenletekhez, ugyanis az egyszabadságfokú, szabadlengéseket ilyen egyenlet írja le, ez. pl. a Hamilton elvből teljesen nyílvánvaló...).

30% amplitúdóveszteség a megadott feltételek mellett gyakorlatilag a sajátfrekvencia szempontjából nem jelent semmit, ez azt jelenti hogy a csillapítatlan rendszer sajátfrekvenciája jó közelítéssel megegyezik a csillapított rendszer sajátfrekvenciájával.

A periódusidőt hadd ne mondjam, hogy kell kiszámolni, az osztást talán még mindenki tudja...

Most jöhet a fv. tábla:

f=1/T ahol T: periódusidő.

Bonyolult? Ugye hogy nem!

Megjegyzés: Nyílván a csillapítatlan rendszer sajátfrekvenciája nagyobb mint a csillapított rendszeré. Vagyis az 1/T kiszámításával alúlról becsültük a valós sajátfrekvenciát. Így kapásból azt mondanám, hogy a kettő közötti eltérés kb. 10^(-5), 10^(-6) nagyságrendű.

(Ha nem hiszitek miattam kiszámolhatjátok log.dekremetummal meg Lehr csillapítással...).

Na, végül remélem hasznos lesz a válasz, lényege az egésznek hogy nem kell itt túl bonyolult dolgokra gondolni. Nem tudom hogy középiskolás vagy egyetemi -e a példa. Ha középiskolás akkor elég a fv. táblázatos képlet. Ha egyetemi, akkor meg indoklásként lehet hivatkozni a zárójeles kiegészítésekre...