Bizonyítsd be: Minden végtelen szakaszos tizedes tört felírható két egész szám hányadosaként?

Legyen a szám A, és a szakasz legyen leírható egy n-jegyű számmal.

B = 10^n*A – A egy véges tizedestört lesz, azaz felírható egy egész szám (például C) és egy 10-hatvány (jelöljük D-vel) hányadosaként, mivel 10^n*A és A számjegyei valahányadik jegytől kezdve pontosan megegyeznek. Ekkor

A = B/(10^n – 1) = C/(D*(10^n – 1)),

ahol a számláló és nevező is nyilván egész szám, így készen vagyunk, mert felírtuk az A-t két egész szám hányadosaként.

Kicsit változtatok a példán, legyen a szám inkább

A = 0,005285714285714285714285714…

(mert így fog látszani, hogy miért körülményeskedtem C-vel és D-vel).

A szakasz a '285714', ami n = 6 jegyű.

B = 10^6*0,005285714285714285714285714… – 0,005285714285714285714285714… = 1000000*0,005285714285714285714285714… – 0,005285714285714285714285714… = 5285,714285714285714285714 – 0,005285714285714285714285714…,

a kivonáshoz írjuk őket egymás alá, mert úgy jobban látszik (ugye tanultál írásban kivonni másodikban?):

5285,714285714285714285714285714… –

0000,005285714285714285714285714… =

5285,709000000000000000000000000… = 5285,7090,

ami ha nem is egy egész szám, de egy véges tizedes tört, így felírható egy tízhatvány és egy egész szám hányadosaként, például B = 5285709/1000, tehát C = 5285709 és D = 1000. És ezzel készen vagyunk, a fentiek alapján

A = C/(D*(10^n – 1)),

mindent helyettesítve

A = 5285709/(1000*(10^6 – 1)) = 5285709/(1000*999999) = 5285709/999999000,

ami két egész szám hányadosa. És ez működik bármelyik másik végtelen szakaszos tizedes törtre is.