Halmaz-bizonyítás (? ) Ezen bizonyítás levezetése kissé nehézkes számomra, ha volna valaki aki el tudná magyarázni, azt nagyon megköszönném!

A komplementert csillaggal fogom jelölni.

A bizonyítás ⇒ irányban:

Tudjuk, hogy A∩B ⊆ C

Ha mindkét oldalhoz uniózzuk ugyanazt (pl. B*-ot), akkor a részhalmaz tulajdonság változatlanul fennmarad:

B* ∪ (A∩B) ⊆ B* ∪ C

A bal oldal egyenlő ezzel:

(B* ∪ A) ∩ (B* ∪ B)

= (B* ∪ A)

ez pedig ⊇ A, tehát B* ∪ C   ⊇   B* ∪ A   ⊇   A

vagyis

B* ∪ C   ⊇   A

⇐ irányban:

Tudjuk, hogy A ⊆ B* ∪ C

Ha mindkét oldalt metsszük ugyanazzal (pl. B-vel), a részhalmaz tulajdonság megmarad:

A ∩ B ⊆ B ∩ (B* ∪ C)

A jobb oldal egyenlő ezzel:

(B ∩ B*) ∪ (B ∩ C)

= B ∩ C

ami pedig ⊆ C

Vagyis

A ∩ B   ⊆   B ∩ C   ⊆   C

vagyis

A ∩ B   ⊆   C