Hogy lehet ezt az egyenlőtlenséget megoldani? loggyökxlog2 (4^x -12) <= 2

Először is, logaritmus alapja nem lehet 1-nél kisebb szám. Mivel az első logaritmus alapja √x, ezért annyi már biztos, hogy x>1.

Aztán ott van az is, hogy logaritmus csak pozitív számon értelmezhető. Mivel a második, kettes alapú logaritmus az első hasában van, és emiatt csak pozitív lehet, azt is tudjuk, hogy log2(4^x-12) > 0. Ezt kettes alapra emelve:

4^x - 12 > 1, azaz x > log4(13). Ez már minden bizonnyal a végső válasz első fele, hiszen ettől az x = log4(13) ponttól a bal oldal mínusz végtelenből elindul felfelé. A mínusz végtelen pedig bőven kisebb 2-nél...

Haladjunk tovább. Emeljük √x alapra a két oldalt, azzal

log2(4^x-12) <= √x^2 = x.

A bal oldalról ránézésre, vagy ha nagyon akarod, differenciálás útján be lehet látni, hogy a meredeksége (legalábbis x>log4(12) esetén) soha nem csökken 2 alá. Ez azt jelenti, hogyha a (mínusz végtelenből induló) baloldal egyszer megelőzi x-et, akkor felette is marad. Tehát a kettő metszéspontját kell megkeresni, azaz megoldani a

log2(4^x-12) = x egyenletet. Ezt szépen nem lehet csinálni, viszont az ember szemét kiböki az x=2, amibe senki nem köthet bele. Ezzel megtaláltuk az x-et, ahol a második, √x alapra emelt egyenlőtlenség monoton növekvő baloldala eléri a jobb oldallal való egyenlőséget.

Tehát a darabokat összerakva: log4(13) < x <= 2.