Adott véges sok pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy ha bármely kettő pontot összekötő egyenesen van egy harmadik, akkor minden pont egy egyenesre illeszkedik. ?

Ez egy régi híres feladat, ezt szoktuk példaként hozni az egyszerű, lényegretörő bizonyításra.

Erdős Pál szerint van "A KÖNYV", amiben a matematikai állítások legszebb bizonyításai vannak.

Egy jó ábra kellene, de megpróbálom leírni.

Indirekte tegyük fel, hogy a feltétel teljesül, de nincs mindegyik egy egyenesen.

Most nézzük az összekötő egyenesekből és a pontokból alkotott párokat. E párok mindegyike esetén van egy pont-egyenes távolság (ami nem mind nulla).

A pozitív távolságok közül vegyük legkisebbet (vagy az egyik legkisebbet), ami létezik, hiszen véges sok elem van. Nevezzük P-nek az aktuális pontot és e-nek az egyenest.

Na most ebben a minimális távolságú esetben is van az adott egyenesen három pont, jelöljük ezeket sorban A, B, C-vel. (Rajzold le.)

A P pontot kössük össze az A és a C pontokkal.

A B pont az A és a C között van.

Most annyit kell még belátni, hogy a B pont távolsága a PA vagy a PC egyenestől kisebb, mint a P pont távolsága az AC egyenestől. (Ezt rád bízom.)

Ez viszont ellentmondás, mert a P-e volt a legkisebb a pont-egyenes távolságok közül.

Tehát hibás volt az indirekt feltevés, miszerint nincs mindegyik pont egy egyenesen.

Ennyi.

Ui:

Ajánlom az alábbi könyvet:

Aigner-Ziegler: Bizonyítások a Könyvből

Ebben van egy sor bizonyítás.

Az iménti probléma Sylvester ötlete volt 1893-ból.

Több bizonyítás után egy Kelly nevű matematikus találta ki a fenti bizonyítást.