Matek. Analízis. Itt a kezdeti szűkítés mit jelent? Miért ennyi? Van köze ahhoz, hogy x-->3 vagy csak egybeesés?

A definícióban olyan van, hogy "minden ε>0-hoz létezik egy δ>0 érték úgy, hogy..." stb.

Erre alapozva úgy tudunk bizonyítani, hogy valamilyen függvénykapcsolatot kell találnunk ε és δ között. Vagyis egy adott ε-ból ki kell tudni számolni egy δ-t, ami megfelel a ..-nál lévő feltételnek.

Na most nem a nagy értékű ε meg δ az érdekes, hanem a kicsi. Vagyis a 3-hoz közeli x-ek az érdekesek. Mondjuk a max 1 távolságra lévők. Ezért lett ez a "kezdeti szűkítés" ilyen, vagyis hogy azok az x-ek, amik max 1 távolságra vannak a 3-tól.

Az jött ki, hogy ebben a tartományban |8x+15|/(8·|x+5|) < 47/56, vagyis

|f(x)-A| < |x-3|·47/56

Ez után jön a kapcsolat ε és δ között:

Minden megfelelően kicsi ε-hoz rendeljük hozzá a δ=ε·56/47 értéket. Ekkor teljesül az, hogy |x-3|<δ esetén

|f(x)-A|=|x-3|·|8x+15|/(8·|x+5|) < |x-3|·47/56 < δ·47/56 = ε

és éppen ez volt a definíció szerint a bizonyítandó egyenlőtlenség.