Ezt a matematika (geometriai) példát hogy kell megoldani?

Felrajzolod az ábrát, majd kösd össze a téglalap csúcsait az átmérő felezőpontjával. Ekkor a téglalapon belül kapsz három háromszöget, egy egyenlő szárút, és két egybevágó derékszögűt. Amiket az előbb behúztunk, azok a félkör sugarai, legyen ez R, ezek hajlásszöge pedig Ł. Így az egyenlő szárú háromszögben ki tudjuk számolni az alap hosszát a koszinusztétellel:

x^2=R^2+R^2-2*R*R*cos(Ł)

x^2=2*R^2*(1-cos(Ł))

x=R*gyök(2)*gyök(1-cos(Ł))

A derékszögű háromszög egyik befogójának hossza az előbb kiszámolt hossz fele, átfogója R, így Pitagorasz tételével kiszámolhatjuk a másik befogó hosszát:

b^2+(R*gyök(2)*gyök(1-cos(Ł))/2)^2=R^2

b^2+R^2*2*(1-cos(Ł)/4=R^2

b^2=R^2-R^2*2*(1-cos(Ł)/4

b^2=R^2*(1-cos(Ł)/2)

b=gyök(R^2*(1-cos(Ł)/2))=R*gyök(1-cos(Ł)/2)

Ezzel sikerül a téglalap két oldalát megadni Ł függvényében. A téglalap területe a két oldal szorzata, tehát ezeket összeszorozzuk:

T=x*b=R*gyök(2)*gyök(1-cos(Ł))*R*gyök(1-cos(Ł)/2)

Kissé le tudjuk egyszerűsíteni az életünket, mivel 1-cos(Ł) egy csomó helyen van. A jobb átláthatóság kedvéért legyen 1-cos(Ł)=k, ekkor

T=R*gyök(2)*gyök(k)*R*gyök(k/2)=R^2*gyök(k*(k/2)*2)=R^2*gyök(k^2)=R^2*|k|

Visszahelyettesítjük k helyére az 1-cos(Ł)-t:

T=R^2*(1-cos(Ł))

Nem nehéz rájönni, hogy ennek Ł=90°-nál van maximuma, ekkor T=R^2. Ha Ł=90°, akkor x=R*gyök(2), b=R*gyök(1/2).

Hogy hányszorosa a párhuzamos oldal a másiknak, úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk egymással őket:

x/b=(R*gyök(2))/(R*gyök(1/2))=gyök(2/(1/2))=gyök(2*2)=gyök(4)=2, tehát kétszerese.

Nagyon jó ötlet a felezéses észrevétel, de ehhez a kérdezőnek majd le kell még vezetnie a hivatkozott állítást.

Ez egyébként számolás nélkül is megtehető, ha a téglalap területét nem a merőleges oldalak szorzataként vizsgáljuk,

hanem egy rögzített átmérő (= a téglalap átlója) és a rá merőleges magasság szorzataként.

--------------------------

Más megközelítés, ami sok hasonló, de bonyolultabb feladatnál hasznos.

Célszerű valamilyen szögre visszavezetni a levezetést, amivel rengeteg gyökvonás megtakarítható,

majd a trigonometrikus képlet szélsőértékét megkeresni.

Legyen

a téglalap ABCD, A és B van az átmérőn;

a kör középpontja O (egyúttal AB felezőpontja);

fí a COB szög (a kör egyik középponti szöge);

r (= OA=OB=OC=OD) a kör sugara.

A téglalap

a átmérővel párhuzamos oldala: AB = CD = 2*OB = 2*r*cos(fí);

a átmérőre merőleges oldala: DA = BC = r*sin(fí)

T= CD*BC = 2*r*cos(fí) * r*sin(fí) = r^2*sin(2*fí);

r adott, tehát a maximum:

sin(2*fí) = 1 ---> 2*fí=90° ---> fí=45°

vagyis két négyzet van egymás mellett: az arány 2:1