Helyes az integrálás végeredménye? Egyenlőségjel után egyből a végeredmény jön, ha igen, hogy jön ki?

Úgy néz ki, hogy jó a végeredmény. Úgy jön ki egyébként, hogy a törtet két tört összegére bontod (parciális törtekre bontás). Az egyik tört nevezőjében lesz x^2, a másikéban meg 1+x^2, és akkor értelemszerűen az ezekhez tartozó számlálót kell csak meghatározni, ami ebben az esetben elég könnyen látható. Mindkét számláló 1 lesz. Innen meg már adja magát:

1/(1+x^2) integráltja arctg(x), 1/x^2 integráltja pedig -1/x...

A parciális törtekre bontás így néz ki egyébként:

A/(1+x^2) + B/(x^2) = (A*x^2+B*(1+x^2))/(x^2*(1+x^2)) = (A*x^2+B*x^2+B)/(x^2*(1+x^2))

1+2x^2 = (A+B)*x^2+B*1

A+B=2

B=1

Amiből következik, hogy A=1

Nem mellesleg van egy másik trükk is, amivel talán gyorsabb...

A számlálót felírod úgy, hogy:

1+x^2+x^2, és az 1/x^2 -et kiemeled, ekkor ezt kapod:

1/x^2 * (1+x^2/(1+x^2)), megszorzod mindkét tagot az 1/x^2 -tel, és ezt kapod:

1/x^2 + 1/(1+x^2)...ugyanaz jön ki, csak nem mindig tudod ezt a trükköt alkalmazni.

Gondolom a második válaszomból az tiszta, hogy:

(1+y+y)/(1+y) = 1 + y/(1+y).