Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Segítség matek házi! 5x^2+5xy+...

Segítség matek házi! 5x^2+5xy+5y^2=7x+14y? X;y eleme Z-nek

Figyelt kérdés
Segítenétek megoldani ezt a példát, mert bárhogy is próbálkoztam, nem ment. Előre is köszönöm!

2016. jan. 17. 12:50
 1/4 anonim ***** válasza:

Mivel az egyenlet nem tartalmaz konstans tagot, triviális megoldása az x=0 ; y=0.


Ezen kívül.


5(x^2+xy+y^2) = 7(x+2y). Mivel az 5 és a 7 prímszámok, ez csak akkor teljesülhet, ha 7|x^2+xy+y^2 ; 5|x+2y.

Innen nem tudom, hogy lenne jó, de am próbálgatással kijön, hogy x=1 ; y=2 és x=-1 ; y=3 is megoldások.

2016. jan. 17. 13:07
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/4 anonim ***** válasza:
100%

Parametrikusan érdemes megoldani; legyen y a paraméter, ekkor redukáljuk 0-ra a jobb oldalt:


5x^2+5xy+5y^2-7x-14y=0, másként:


5x^2+(5y-7)*x+5y^2-14y=0


Másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldjuk:


x1;2=(-5y+7+-gyök((5y-7)^2-4*5*(5y^2-14y))/10=


=(-5y+7+-gyök(-75y^2+210y+49))/10


Értelemszerűen a gyök alatt csak nemnegatív szám állhat, tehát meg kell oldanunk ezt az egyenlőtlenséget:


-75y^2+210y+49>=0, ennek a gyökei y1=~-0,21 és y2=~3,02, a tanultak alapján tudjuk, hogy e két szám között lehet y értéke, de mivel y egész, ezért a lehetséges értékek: y={0;1;2;3}. Most, hogy ezt tudjuk, y helyére beírogatjuk ezeket az értékeket a megoldóképletbe:


y=0: x1;2=(-5*0+7+-gyök(-75*0^2+210*0+49))/10=0/10=0, tehát az egyik megoldás: y=0, x=0 (a feladatra ránézve egyébként triviális megoldás)


y=1: x1;2=(-5*1+7+-gyök(-75*1^2+210*1+49))/10=(2+-gyök(184))/10=~1,556 és ~-1,156, ezek nem egészek, tehát ez nem megoldás.


y=2: x1;2=(-5*2+7+-gyök(-75*2^2+210*2+49))/10=(-3+-gyök(169))/10=1 és -1,6, ebből csak az x=1 jó nekünk, tehát egy újabb megoldás: {x;y}={1;2}


y=3: x1;2=(-5*3+7+-gyök(-75*3^2+210*3+49))/10=(-8+-gyök(4))/10=-1 és 0,6, ebből az x=-1 a jó, tehát


{x;y}={-1;3}


Mivel y-nak más értéke nem lehet, ezért minden lehetséges megoldást megvizsgáltunk. Ha nem számoltam el, akkor összesen 3 megoldása van az egyenletnek.


A Wolframalpha szerint nem:


[link]


Az "Integer solutions" alatt találod az egyenlet egész megoldásait; pont azokat, amelyeket én is megtaláltam.

2016. jan. 17. 13:24
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/4 A kérdező kommentje:
köszönöm szépen a segítséget :)
2016. jan. 17. 13:37
 4/4 Fibonacci ***** válasza:
2016. jan. 18. 15:10
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!