Egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai pitagoraszi számhármast alkotnak. Mekkora a háromszög területe, ha a kerülete 120 cm?

google segítségével megtalálod a pitagoraszi számhármasokat. pl: 3, 4, 5....

Ennek veszed a 10szeresét, mert úgy jön ki a kerület. Tehát a=30 cm, b=40 cm és c=50 cm. Terület a derékszögű háromszögnél a•b/2=30•40/2=600cm2

Rákeresel a Pitagorasz tételre és behelyettesíted a fent leírt három számot.

3^2+4^2=5^2

T=a*b/2 képlet meg az alap szorozva magasság osztva kettővel

Két megoldást találtam:

30, 40, 50 és

20, 48, 52,

több nincs.

Majd - érdeklődés esetén - leíronm a részletes ("google free") levezetést.

Bár az érdeklődés elmaradt, mellékelem a részletes levezetést, mert sok más feladatnál is hasonló lépések kellenek.

[link]

Nem is olyan egyszerű ez a feladat, mint első nekifutásra látszik.

Néhány kósza próbálkozás után visszatértem a kályhához. :-)

Megoldásként azok az alap Pitagorászi számhármasok jöhetnek szóba, melyek összege osztói a kerületnek, esetünkben 120-nak.

Itt van az első öt trió:

x y z

4d 3d 5d

12d 5d 13d

24d 7d 25d

15d 8d 17d

40d 9d 41d

ahol d tetszőleges pozitív egész szám. (Wikipédiából másolva)

d = 1 esetén a számok összege, tkp. az alapháromszög kerülete (K0):

1.) 3 + 4 + 5 = 12

2.) 5 + 12 + 13 = 30

3.) 7 + 24 + 25 = 56

4.) 8 + 15 + 17 = 40

5.) 9 + 40 + 41 = 90

Azonnal látszik, hogy az első, a második és a negyedik trió jöhet szóba.

1.) 3 + 4 + 5 = 12

2.) 5 + 12 + 13 = 30

4.) 8 + 15 + 17 = 40

A valós kerület és az alapkerület aránya így

n = K/K0

1.) 10

2.) 4

4.) 3

vagyis a feladat megoldását jelentő háromszögek oldalai az alapoldalak n-szeresei:

a - b - c

1.) 10*3 - 10*4 - 10*5 = 30 - 40 - 50

2.) 4*5 - 4*12 - 4*13 = 20 - 48 - 52

4.) 3*8 - 3*15 - 3*17 = 24 - 45 - 51

Fibonacci sporttárs megoldását látva az jutott eszembe, hogy "...a gép forog, az alkotó pihen...", mint aki jól végezte dolgát, pedig máris időszerű lenne a szerkezet egy "kerékfogát" megújítani, mert szőr van a köszörűben. :-)

Azt írja egy helyen:

"Két megoldást találtam:

30, 40, 50 és

20, 48, 52,

több nincs. "

Az lehet, hogy ő kettőt talált, de ez nem minden! Van még! Nem szabad félrevezetni a kérdezőt.

Később:

"...mert sok más feladatnál is hasonló lépések kellenek."

Kevés olyan feladat van, melyeknél azt lehet mondani, hogy ilyen vagy hasonló lépések kellenek!

Mint sok másikat, ezt a példát is meg lehet oldani az általa leírt lépésekkel is, de ezen kívül sok más lehetőség is van.

Számomra kissé irritálóak az ilyen kijelentések.

Természetesen nekem is van a fentitől eltérő megoldásom, de szeretném, ha ő mutatna olyan megoldást, amelyik minden esetet magában foglalja.

DeeDee

**********

Nagyon hálás vagyok a hozzászólásodért, különös tekintettel arra, hogy legtöbb feladatnál a megoldásom után már nincs több hsz.

Az a baleset ért, hogy a 7200 egyik osztójáról a 75-ről megfeledkeztem.

Az összes ösztóra eleve nem is volt szükség, könnyen behatárolható, hogy mettől meddig érdekesek.

Miközben szájbarágósan elmagyaráztam, hogy 72-nél kisebb, vagy 80-nál nagyobb nem jöhet szóba,

arról megfeledkeztem, hogy a kettő között van még valami: a 75. (Remélem több már tényleg nincsen.)

Már ki is javítottam a megoldást, ami csupán egyetlen (és nem több) sor beszúrását igényelte.

[link]