(Algebra) Hogyan egészíthető ki az alábbi művelettáblázat, hogy csoport művelettáblázatát kapjuk?

Eddig sikerült eljutni:

× | e a b x y z

--+------------

e | e a b x y z

a | a b e y z x

b | b e a z x y

x | x z y e ⊙ ⊡

y | y x z ⊡ e ⊙

z | z y x ⊙ ⊡ e

A még üres helyekre

⊙ ← a és ⊡ ← b vagy pedig fordítva:

⊙ ← b és ⊡ ← a

jöhetne.

Ezek valamelyikét kellene kizárni, de inkább úgy látszik mindkettő megoldás.

Egyébként a csoport izomorf a szabályos háromszög önmagára való egybevágósági leképezéseinek csoportjával.

a,b ±120°-os forgatások, harmadrendű elemek: a³ = b³ = e

x,y,z tengelyes tükrözések. másodrendű elemek: x² = y² = z² = e

A jobb olvashatóság kedvéért:

× | e a b x y z

--+------------

e | e a b x y z

a | a b e y z x

b | b e a z x y

x | x z y e + -

y | y x z - e +

z | z y x + - e

A két lehetőség:

× | e a b x y z

--+------------

e | e a b x y z

a | a b e y z x

b | b e a z x y

x | x z y e a b

y | y x z b e a

z | z y x a b e

vagy

× | e a b x y z

--+------------

e | e a b x y z

a | a b e y z x

b | b e a z x y

x | x z y e b a

y | y x z a e b

z | z y x b a e