Hogyan adható meg olyan homogén lineáris egyenletrendszer, melynek megoldástere épp az ℝ^4 vektortér U = [ (1;-1; 2; 1) ; (-1; 1; 3; 2) ; (3; -3; -4; -3) ; (3; -3; 1; 0) ] altere?

A megoldás elve:

Azoknál a v vektoroknál, amik merőlegesek U vektoraira, az U vektoraival vett skalárszorzat nulla.

Vagyis ha az A mátrix a fenti 4 vektorból készített mátrix, akkor A·v = 0.

(Nevezhetnénk az A mátrixot U-nak is, de az nem igazán helyes.)

Ez egy egyenletrendszer, aminek a megoldásai az U-ra merőleges teret adnak. Legyen ez a V tér.

Legyen a B mátrix az, aminek a sorvektorai a V teret kifeszítik.

Aztán azok az x vektorok, amik ennek a V térnek a vektoraira merőlegesek, azok a B·x=0 homogén egyenletrendszer megoldásai. Az pedig pont az U tér kell legyen, vagyis a kérdésre a válasz B·x=0

A jelenlegi adatokkal végigcsinálva:

A·v = 0

vagyis

v₁ - v₂ + 2v₃ + v₄ = 0

-v₁ + v₂ + 3v₃ + 2v₄ = 0

stb., de úgyse ezt kell felírni, hanem az A mátrixot kell Gauss eliminálni.

Két sor marad belőle, a másik kettő 0 lesz:

(1; -1; 2; 1)

(0; 0; 5; 3)

A redukált lépcsős alak pedig:

(1; -1; 0; -1/5)

(0; 0; 1; 3/5)

Két szabadon választható ismeretlen van: mondjuk v₂=s és v₄=t

v₁ - s - 1/5 t = 0

v₃ + 3/5 t = 0

Kifejezve a v vektort:

v₁ = 1·s + 1/5 t

v₂ = 1·s + 0·t

v₃ = 0·s - 3/5 t

v₄ = 0·s + 1·t

Vagyis a V teret a következő két vektornak a lineáris kombinációja feszíti ki: {(1; 1; 0; 0); (1/5; 0; -3/5; 1)}

A második vektort szorozhatjuk 5-tel, hogy ne legyenek törtek...

Így a végső B·x=0 egyenletrendszer pedig (aminek a megoldástere U):

x₁ + x₂ = 0

x₁ - 3x₃ + 5x₄ = 0

Kész.