Mennyi az x és az y értéke? (1) logˇ8x+logˇ4y^2=5 (2) logˇ8y+logˇ4x^2 (a 8 és a 4 a logaritmus alapja)

A második egyenletnek lemaradt a jobb oldala...

'Áttérés más alapú logaritmusra' képletét vettétek már?

Akkor átírod a tagokat azonos alapra, mondjuk 4-re:

1: log(4)[x]/log(4)[8]+log(4)[y^2]=5

2: log(4)[y]/log(4)[8]+log(4)[x^2]=7

Foglalkozzunk az 1. egyenlettel. Számoljuk ki log(4)[8]értékét; tegyük fel, hogy ennek az értéke c, ekkor

log(4)[8]=c, átírjuk c-t 8-as alapú logaritmussá

log(4)[8]=log(4)[4^c], most eltűnik a log

8=4^c, átírjuk mindkét oldalt 2 hatványára

2^3=(2^2)^c, vagyis

2^3=2^(2*c)

Az exponenciális blablabla...

3=2*c, vagyis 3/2=c; c vel jelöltük log(4)[8] értékét, ezért log(4)[8]=3/2. Így az egyenlet:

log(4)[x]/(3/2)+log(4)[y^2]=5, szorzunk 3/2-del

log(4)[x]+(3/2)*log(4)[y^2]=7,5, használjuk a logaritmus azonosságát

log(4)[x]+log(4)[(y^2)^(3/2)]=7,5, majd a hatványozás azonosságát

log(4)[x]+log(4)[y^(2*3/2)]=7,5, tehát

log(4)[x]+log(4)[y^3]=7,5

Mivel x;y pozitív, ezért nem kell az y^3-hoz ||-jel, egyébként kellene. Most, hogy idáig eljutottunk, egy újabb logaritmusazonosság alapján

log(4)[x/y^3]=7,5, vagyis

x/y^3=4^7,5=2^(2*7,5)=2^15=32.768, erre

x=y^3*32.768.

Ezt beírod x helyére a 2. egyenletben, azt megoldod y-ra, aztán megkapod y-et is (ha van), és kész az egyenletrendszer.

A WolframAlpha egy szempillantás alatt kiadja a megoldást:

[link]

x=512, y=4, ha nem ez jön ki, akkor valami hiba van.