Az ABC háromszög két csúcspontja A (1;2) és B (-1;-1). A C csúcshoz tartozó belső szögfelező egyenlete 2x+y=1. Határozzuk meg a C pont koordinátáit!?

Először határozzuk meg az AB szakasz és az egyenes metszéspontját, ehhez írjuk fel az AB szakaszra fektetett egyenes egyenletét:

AB->(-2;-3) ebből n(3;-2), az egyenes egyenlete: 3x-2y=3*1-2*2=-1, vagyis 3x-2y=-1

A két egyenes egyenlete:

2x+ y=1 }

3x-2y=-1}

Szorozzuk meg az első egyenletet 2-vel:

4x+2y=2 }

3x-2y=-1}

Összeadjuk a két egyenletet:

7x=1, erre x=1/7, ebből y meghatározható:

2*1/7+y=1 -> y=y=5/7, tehát a metszéspont koordinátái: P(1/7;5/7)

Számoljuk ki a metszéspont és az A, valamint a B pont távolságát:

|PA|=gyök( (1-1/7)^2 + (2-5/7)^2 )=gyök(36/49+81/49)=gyök(117)/7

|PB|=gyök( (-1-1/7)^2 + (-1-5/7)^2 )=gyök(64/49+144/49)=gyök(208)/7

Tegyük fel, hogy a C csúcs első koordinátája c1, ekkor az első koordinátája c2=1-2*c1, mivel az adott egyenes rajta kell lennie.

|AC|=gyök( (c1-1)^2 + (1-2*c1-2)^2 )=gyök( (c1-1)^2 + (-2*c1-1)^2 )=gyök( (c1-1)^2 + (1+2*c1)^2 )

|BC|=gyök( (c1+1)^2 + (1-2*c1+1)^2 )=gyök( (c1+1)^2 + (2-2*c1)^2 )

Most, hogy ezt a 4 hosszt ismerjük, felírhatjuk a szögfelezőtételt:

|CA|/|AP|=|CB|/|BP|

gyök( (c1-1)^2 + (1+2*c1)^2 )/(gyök(117)/7)=gyök( (c1+1)^2 + (2-2*c1)^2 )/(gyök(208)/7)

Ezt egyszerű egyenletrendezéssel meg lehet oldani.

WolframAlpha szerint a megoldása:

[link]

Két megoldást is ad az egyenletre: c1=1/7, ekkor c2=5/7, ez megegyezik a P pont koordinátáival (ez persze triviális megoldás, mivel erre 1=1-et kapjuk), ez viszont elfajult háromszöget ad, ez nem megoldás.

A másik: c1=-13/5, ekkor c2=31/5, tehát a harmadik csúcs koordinátái: C( -13/5 ; 31/5 ). Az ellenőrzést már rád bízom.

Egy másik gondolatmenet:

[link]