Matek házi. Segítség kéne és magyarázat is, mert nem jutottam semmire se?

Az a-b oldal valamint az e átló kiad egy háromszöget, melynek az a-b oldal által bezárt szöge gamma, így fel erre a koszinusz-tételt:

e^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gamma)

e^2 + 2*a*b*cos(gamma) = a^2 + b^2

Ugyanígy kiad az a-b-f is egy háromszöget, csak a szög az 180-gamma:

f^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(180-gamma)

f^2 + 2*a*b*cos(180-gamma) = a^2 + b^2

Mivel mindkét esetben megegyezik a jobb oldal, így a bal oldalaknak meg kell egyezniük:

e^2 + 2*a*b*cos(gamma) = f^2 + 2*a*b*cos(180-gamma)

Tudjuk, hogy T=a*b*sin(gamma), vagyis a*b=T/sin(gamma), ezt helyettesítsük be:

e^2 + 2*cos(gamma)*T/sin(gamma) = f^2 + 2*cos(180-gamma)*T/sin(gamma)

Ebben csak e valamint f az ismeretlen.

De mivel tudod az omegát, ezért az a-e/2-f/2 illetve a b-e/2-f/2 háromszögekre is felírhatod ugyanígy a koszinusz-tételt, és azokban is csak e valamint f lesz az ismeretlen.

Így már lesz két egymástól független egyenleted, két ismeretlennel, ami már könnyen megoldható.

Nem tudom, a válaszoló kipróbálta-e a módzserét, de szerintem a fenti úton nem oldható meg a feladat.

"De mivel tudod az omegát, ezért az a-e/2-f/2 illetve a b-e/2-f/2 háromszögekre is felírhatod ugyanígy a koszinusz-tételt, és azokban is csak e valamint f lesz az ismeretlen."

Ezekben a koszinusz tételekben az oldalak is megjelennek, így 4 ismeretlen lesz.

Mást kell kitalálni.

Ez egy nagyon szép, szimmetrikus, többrétegű feladat! :-)

Röviden a feladat:

Határozzuk meg egy paralelogramma oldalait és átlóit, ha adott a területe valamint az oldalak és az átlók által bezárt szög.

Legyen

T = a paralelogramma területe

α = az oldalak által bezárt szög

δ = az átlók által bezárt szög

a, b (a>b) = ? - a két oldal

e, f (e>f) = ? - a két átló

A megoldáshoz hat egyenletet használtam fel

Koszinusz-tétel az oldalakra

(1) 4a² = e² + f² + 2ef*cosδ

(2) 4b² = e² + f² - 2ef*cosδ

Koszinusz-tétel az átlókra

(3) e² = a² + b² + 2ab*cosα

(4) f² = a² + b² - 2ab*cosα

A terület az oldalakkal és az általuk bezárt szöggel

(5) T = ab*sinα

A terület az átlókkal és az általuk bezárt szöggel

(6) 2T = ef*sinδ

Az oldalak számítása

A felhasznált egyenletek: (1), (2), (5), (6)

4a² = e² + f² + 2ef*cosδ

4b² = e² + f² - 2ef*cosδ

az elsőből kivonva a másodikat

4(a² - b²) = 4ef*cosδ

egyszerűsítve

a² - b² = ef*cosδ

A (6) egyenletet hozzávéve az egyenletrendszer

a² - b² = ef*cosδ

2T = ef*sinδ

A két egyenletet elosztva egymással (cosδ/sinδ = ctgδ)

(a² - b²)/2T = ctgδ

Mindkét oldalt 2T-vel szorozva

a² - b² = 2T*ctgδ

Az (5) egyenletből

ab = T/sinα

így a megoldandó egyenletrendszer

a² - b² = 2T*ctgδ

ab = T/sinα

Innen a megoldás már szabadon választott gyakorlat, megmutatok egyet a sokból

A második egyenletből b-t kifejezve

b= T/(a*sinα)

mindkét oldalt négyzetre emelve

b² = T²/(a²*sin²α) = (T²/a²)*(1/sin²α)

mivel

1/sin²α = 1 + ctg²α

ezért

b² = (T²/a²)*(1+ ctg²α) = [T²*(1+ ctg²α)]/a²

ezt behelyettesítve az első egyenletbe

a² - b² = 2T*ctgδ

a² - [T²*(1+ ctg²α)]/a² = 2T*ctgδ

mindkét oldalt a²-tel szorozva

a^4 - [T²*(1+ ctg²α)] =

nullára rendezve

a^4 - a²*2T*ctgδ - [T²*(1+ ctg²α)] = 0

Ez 'a'-ra egy negyedfokú vagy másként: a²-re egy másodfokú egyenlet, melynek megoldása

±a² = T[ctgδ ± √(1 + ctg²α + ctg²δ)]

Az egyenletnek négy megoldása van, de ebből csak kettő jöhet számításba, melyek az a és b értékét adják. Ezek

a² = T[ctgδ + √(1 + ctg²α + ctg²δ)]

ill.

b² = -T[ctgδ - √(1 + ctg²α + ctg²δ)]

==========================

Az átlók számítása

A felhasznált egyenletek: (3), (4), (5), (6)

(3) e² = a² + b² + 2ab*cosα

(4) f² = a² + b² - 2ab*cosα

(5) T = ab*sinα

(6) 2T = ef*sinδ

Ezekből az oldalaknál alkalmazott lépésekkel a megoldandó egyenletrendszer

e² - f² = 4T*ctgα

ef = 2T/sinδ

Mielőtt nekiállnánk a megoldásnak, érdemes elemezni a helyzetet.

Hasonlítsuk össze az oldalak esetén kapott egyenletekkel

a² - b² = 2T*ctgδ

ab = T/sinα

Látható, hogy pontosan ugyanolyan szerkezetű a két megoldandó egyenletrendszer, a különbség annyi, hogy:

- 'a' helyett 'e'

- 'b' helyett 'f'

- az α és δ felcserélődik

- T helyett 2T szerepel

Ezek a különbségek jelentkeznek a megoldásban is, vagyis az átlók értéke

e² = 2T[ctgα + √(1 + ctg²α + ctg²δ)]

ill.

f² = -2T[ctgα - √(1 + ctg²α + ctg²δ)]

==========================

Összegezve a megoldásokat

a² = T[ctgδ + √(1 + ctg²α + ctg²δ)]

b² = -T[ctgδ - √(1 + ctg²α + ctg²δ)]

ill.

e² = 2T[ctgα + √(1 + ctg²α + ctg²δ)]

f² = -2T[ctgα - √(1 + ctg²α + ctg²δ)]

A b² és f² egyenletek jobb oldalát (-1)-gyel beszorozva egységes kinézetű formára lehet hozni a formulákat

a² = T[√(1 + ctg²α + ctg²δ) + ctgδ]

b² = T[√(1 + ctg²α + ctg²δ) - ctgδ]

e² = 2T[√(1 + ctg²α + ctg²δ) + ctgα]

f² = 2T[√(1 + ctg²α + ctg²δ) - ctgα]

Az ellenőrzéshez az általam kapott eredmények:

a = 52

b = 39

e = 89

f = 23

***********************************************************************

Ezzel kész megoldás, de van még pár érdekesség, amit ez feladat rejt magában

1.)

Vegyük a két-két koszinusz-tételt

Koszinusz-tétel az oldalakra

(1) 4a² = e² + f² + 2ef*cosδ

(2) 4b² = e² + f² - 2ef*cosδ

Koszinusz-tétel az átlókra

(3) e² = a² + b² + 2ab*cosα

(4) f² = a² + b² - 2ab*cosα

Ha bármely kettőt összeadva azt kapjuk, hogy

(A) e² + f² = 2(a² + b²)

ami kapcsolatot jelent az átlók és az oldalak közt. Bármely három adatból kiszámítható a negyedik.

Ez a paralelogrammáknál ismert tétel, miszerint az átlók négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegével.

2.)

Nézzük a következő 2 egyenletet

(B) e² - f² = 4T*ctgα

ill

(C) a² - b² = 2T*ctgδ

Ezek az

- átlók, az oldalak által bezárt szög és a terület

ill

- az oldalak, az átlók által bezárt szög és a terület

között létesítenek kapcsolatot.

3.)

Nézzük a két megoldandó egyenletrendszert

a² - b² = 2T*ctgδ

ab = T/sinα

ill.

e² - f² = 4T*ctgα

ef = 2T/sinδ

Az első egyenletet elosztva a másodikkal

(a² - b²)/ab = 2*ctgδ*sinα

mindkét oldalt 2-vel osztva lesz

(D) (a² - b²)/2ab = ctgδ*sinα

ill. ennek megfelelően

(E) (e² - f²)/2ef = ctgα*sinδ

A két összefüggés az oldalak ill. átlók valamint az oldalak által bezárt szög és az átlók által bezárt szög között létesít kapcsolatot.

Például ha adott két oldal és az általuk bezárt szög, azonnal számítható az átlók szöge.

A végére még néhány megjegyzés

- Remélem nem zavar, hogy más jelöléseket alkalmaztam, de egy korábbi feladat alapján kezdtem el és nem akartam változtatni

- Javaslom, egy hosszában kettéosztott A4-es lap két oszlopába írd fel a megoldásodat, így sokkal jobban látszik a feladat szimmetriája.

- Ha bármilyen kérdésed lenne, írj nyugodtan.

DeeDee

*******