Hogyan lehet bebizonyítani, hogy minden négyszögben van olyan oldal, amely kisebb valamelyik átlónál?

Jelöljük egy ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontját M-mel. Alkalmazzuk a háromszög-egyenlötlenséget az ABM, BCM, CDM, DAM háromszögekre:

AB 〈 AM+BM,

BC 〈 BM+CM,

CD 〈 CM+DM,

DA 〈 DM+AM.

A négy egyenlötlenséget összeadva

AB+BC+CD+DA 〈 2( AM+BM+CM+DM )=2(AC+BD ).

A bal oldal nem kisebb a legkisebb oldal 4-szeresénél, a jobb nem nagyobb a nagyobb átló 4-szeresénél, s így valóban a legkisebb oldal kisebb a nagyobbik átlónál.

VAGY

Vizsgáljuk pl. a négyszög AB oldalát és AC átlóját. Ha AB 〈 AC, akkor a feladat állítása érvényes: a legkisebb oldal biztosan kisebb a nagyobbik átlónál.

Ha AB ≥ AC, akkor megmutatjuk, hogy az AB-vel szemben levö oldal kisebb a másik átlónál: CD 〈 BD. A feltételböl ugyanis következik (az ABC háromszögre alkalmazva az oldalak és szögek közti összefüggést), hogy

ACB∠ ≥ ABC∠.

Másrészt konvex négyszög átlói két részre osztják a négyszögnek a végpontjaikban levö szögeit, így

DCB∠ 〉 ACB∠ ≥ ABC∠ 〉 DBC∠.

Ebböl ismét az oldalak és szögek közti összefüggés alapján nyerjük, hogy BD 〉 CD, amint állítottuk. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Megjegyzések:

1. A feladat állításánál többet is bizonyítottunk: konvex négyszög bármelyik szemben fekvö oldalpárjának egyik tagja kisebb valamelyik átlónál (tehát a hosszabb átlónál minden esetre kisebb), s így legalább két oldal kisebb, mint az átlók hosszabbika. Azt is látjuk, hogy ha csak két ilyen oldal van, ezek szomszédosak.

2. A megoldásból az is következik, hogy ha valamelyik oldal nem kisebb egyik átlónál sem, akkor a szemben fekvö oldal mindkét átlónál kisebb.

3. A rövidebb átlóra a bizonyítás azt adja, hogy ahány oldal nem kisebb a rövidebb átlónál, legalább annyi a hosszabbik átlónál kisebb oldal van.

VAGY

Az átlók M metszéspontja mindegyik átlót két részre osztja. Válasszuk a betüzést úgy, hogy DM a négy szakasz legnagyobbika legyen, vagy a legnagyobbak egyike. Ekkor

AB 〈 AM+BM ≤ DM+BM=BD,

tehát van olyan oldal, amelyik kisebb egy átlónál, s így a legkisebb oldal bizonyosan kisebb a nagyobbik átlónál.

Megjegyzések: 1. A választott jelölések mellett fennáll

BC 〈 BM+CM ≤ BM+DM=BD

is, tehát konvex négyszögnek mindig van két szomszédos oldala, amelyek rövidebbek a közös végpontjukból induló átlónál.

2. Kiindulhatunk a legkisebb átlórészböl is. Ha pl. AM nem nagyobb a BM, CM, DM szakaszok egyikénél sem, akkor

AB 〈 AM+BM ≤ BM+DM=BD

és

AD 〈 AM+DM ≤ BM+DM=BD.

Így azt kaptuk, hogy konvex négyszögben mindig van két szomszédos oldal, amelyek kisebbek a velük háromszöget alkotó átlónál.

A két oldalpár közös végpontjai csak akkor lehetnek szemközti csúcsok, ha ugyanaz a szakasz szerepel a legrövidebbek közt és a leghosszabbak közt is, vagyis ha M a két átlót csupa egyenlö részekre osztja (téglalap esetén). Ekkor bármelyik szomszédos oldalpár rendelkezik mindkét tulajdonsággal. Egyébként vagy mindkét állítás ugyanarról az oldalpárról szól, vagy ugyanarról az átlóról (és a szóban forgó két oldal közül egy oldal kétszer nyer említést).

A két állításból így az is következik, hogy egy konvex négyszögnek vagy van két szomszédos oldala, amelyek mindegyike kisebb mindkét átlónál, vagy három oldala kisebb a hosszabb átlónál.