Valaki matek házi? Írjuk fel az x2+y2+2x+6y+6=0 és az x2+y2-4x+3=0 egyenletű körök közös érintőinek egyenleteit!

(x+1)² + (y+3)² = 2²

(x-2)² + y² = 1²

Az első egy (-1;-3) középpontú, 2 sugarú kör, a másik (2;0) középpontú, 1 sugarú.

Ha nagyjából felrajzolod őket, egyértelmű, hogy az y=-1 az egyik belső érintő egyenes egyenlete, a másiké x=1. Ezeken kívül van még két külső érintő is, de azokat már nem lehet egyszerűen látni, számoljuk ki.

Az érintő: y = mx + b

(az x=1 típusú egyenletekre ez nem jó, de olyan már nem lesz másik.)

Attól érintő, hogy ha ezt behelyettesítjük a körök egyenleteibe, akkor csak 1-1 megoldás lesz (egy pontban érinti), ami azt jelenti, hogy mindkét másodfokú egyenlet diszkriminánsa 0.

Ezt is lehetne csinálni, de két másodfokú egyenletből álló egyenletrendszer lenne, annál egyszerűbb ez:

Hasonlóan, mint ahogy a szerkesztés is menne, csináljunk 1-gyel rövidebb sugarú köröket, úgy a másodikból egyetlen pont lesz, az abból húzott érintők párhuzamosak lesznek a véglegessel.

(x+1)² + (y+3)² = 1¹

Ebbe helyettesítsük be az y=mx+b egyenletet:

(x+1)² + (mx+b+3)² = 1

legyen B=b+3

x² + 2x + 1 + m²x² + 2mBx + B² = 1

(m²+1)·x² + 2(mB+1)x + B² = 0

Ennek a diszkriminánsa 0 kell legyen:

4(mB+1)² - 4(m²+1)B² = 0

(m²B² + 2mB + 1) - (m²B² + B²) = 0

2mB - B² + 1 = 0

        Tudjuk, hogy az egyenes átmegy a (2;0) ponton is, tehát:

        0 = m·2 + b

        3 = 2m + b+3

        B = 3 - 2m

2m(3-2m) - (3-2m)² + 1 = 0

6m - 4m² - 9 + 12m - 4m² + 1 = 0

8m² - 18m + 8 = 0

4m² - 9m + 4 = 0

m₁₂ = (9 ± √(81 - 4³))/8

m₁₂ = 9/8 ± √17/8

Ezt a b-t nem is érdemes kiszámolni, mert ezzel az egyenessel párhuzamosak lesznek a megoldások.

Az igazi egyenesek mondjuk úgy jönnek ki, hogy valamelyik eredeti kör egyenletébe helyettesítjük be az y=mx+b-t (a már kiszámolt m₁ illetve m₂-vel), és ott is a diszkrimináns 0 kell legyen. Akkor b-re kapsz egy másodfokút (de csak az egyik megoldás lesz a helyes, a másik párhuzamosan a túloldalon csak ezt a kört érinti).

A befejezést már rád bízom.