Mennyi legyen az "a" valós paraméter értéke, hogy a [ (8x-1) / (x-2) ]-2=a egyenletnek egy pozitív gyöke legyen?

Először is x=/=2, ez fontos. Ezután átrendezed az egyenletet:

8x-1=(a+2)*(x-2)

8x-1=(a+2)*x-2a-4

(6-a)*x=-2a-3

Mielőtt (6-a)-val osztanánk, meg kell nézni, hogy mi a helyzet a=6 esetén: 0=-15, ez nem igaz, tehát a nem lehet 6. Így oszthatunk: x=(-2a-3)/(6-a). A feladat azt mondja, hogy x>0 kell nekünk, tehát (-2a-3)/(6-a)>0 kell nekünk. Itt két lehetőség van; ha a<6, akkor gond nélkül szorozhatunk: -2a-3>0, tehát -3/2>a, tehát ha a<-3/2, akkor pozitív megoldást kapunk. Ha a>6, akkor szorzásnál fordul a reláció: -2a-3<0, tehát -3/2<a, ennek nincs közös metszete a kiindulófeltétellel, tehát ez nem megoldás.

A legelső feltétel az volt, hogy x=/=2, tehát meg kell nézni, hogy van-e olyan a, hogy (-2a-3)/(6-a)=2:

-2a-3=12-2a

-3=12, nincs, tehát más megoldás nincs; ha a<-3/2, akkor x pozitív lesz. Ellenőrizni úgy tudod, hogy a bal oldalt egyenlővé teszed -3/2-del, ekkor x=0 lesz az eredmény, ha pedig kisebbet, akkor x pozitív lesz.

Azt még le kell írni, hogy az eredeti egyenletet ekvivalens lépésekkel lineáris egyenletre vezettük vissza, és mivel tudjuk, hogy a lineáris egyenletnek 0, 1 vagy végtelen megoldása lehet, ezért ha csak 1 van, akkor nem lehet több, így az eredetinek sem.

"az egyenletnek egy pozitív gyöke legyen"

tehát x nagyobb mint 0, mert ezt mondja ki a feladat