Hogyan kell megoldani ezt a szöveges szélsőérték feladatot (kétváltozós függvény)?

Lehet, hogy van rá valamilyen általatok tanult módszer (talán lineáris programozás?), azokhoz nem értek.

Nyereség M-en: (x-25)·m·1000

Nyereség N-en: (y-30)·n·1000

Ezek összegét kell maximalizálni.

Nem is muszáj szorozni 1000-zel, ugyanott lesz akkor is a maximum.

f(x,y) = (x-25)(5y-5x) + (y-30)(30+5x-5,75y)

Gradiens:

∂f/∂x = (5y-5x)+(x-25)(-5) + (y-30)(5) = 10y - 10x - 25

∂f/∂y = (x-25)(5) + (30+5x-5,75y) + (y-30)(-5,75) = 10x + 77,5 - 11,5y

Szélsőérték ott lehet, ahol a gradiens nulla (stacionárius pont):

10y - 10x - 25 = 0

10x + 77,5 - 11,5y = 0

++

52,5 - 1,5y = 0

y = 35

x = 32,5

Ahhoz, hogy ebben a pontban milyen szélsőérték van, és egyáltalán szélsőérték van-e ott, ki kell számolni a Hesse mátrixot.

Deriváltak a Hesse mátrixhoz:

∂²f/∂x² = -10     ∂²f/∂x∂y = 10

∂²f/∂y∂x = 10   ∂²f/∂y² = -11,5

(a segédátlóban mindkét dupla derivált 10, ennek így kell lennie)

A mátrix determinánsa: (-10)(-11,5) - (10·10) = 15 > 0, tehát a stacionárius pontban szélsőérték van. Mivel ∂²f/dx² < 0, ezért a szélsőérték a maximum.