Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Valaki egy kis lineáris algebra?

Valaki egy kis lineáris algebra?

Figyelt kérdés

Van egy egy minta feladat amit nemtudod megoldani valaki egy kis magyarázattal megtudná mondani, hogy hogy kell az ilyen típusú feladatokat megoldani?

Az R^3 tér [0,1,1]^T, [1,0,0]^T,[0,1,0]^T bázisából készítsünk ortonormált bázist Schmidt eljárással.

Ebben a feladatban kellene a segítség, hogy hasonló típusúakat megtudjak oldani.



2016. máj. 4. 18:11
 1/2 bongolo ***** válasza:

(A T felső indexeket nem írom oda itt, de neked mindegyik vektorhoz oda kell írni.)


Válasszuk ki bármelyik bázisvektort. A legjobban akkor járnánk (akkor kellene a legkevesebbet számolni), ha a második vagy harmadik bázisvektort választanánk, hisz azok egységnyi hosszúak, de válasszuk az elsőt:

u₁ = [0, 1, 1]

Ennek a hossza |u₁| = √(0²+1²+1²) = √2, ezért az u₁ irányú egységvektor:

e₁ = [0, 1/√2, 1/√2]

Ez lesz az új ortonormált bázis első vektora.


Nézzük a következő eredeti bázisvektort,

u₂ = [0, 1, 0]

(Direkt nem a középsőt választottam most, mert azzal egyszerűbb lenne a számolás, mert annak és e₁-nek a skalárszorzata 0 lenne.)

Ennek az u₂-nek kell venni a vetületét e₁-re. Vetületet úgy tudunk csinálni, hogy vesszük először a skalárszorzatukat:

e₁·u₂ = 0 · 0 + 1/√2 · 1 + 1/√2 · 0 = 1/√2 = r₂ (ez skalár)

Ilyen hosszú a vetület. A vetületvektor pedig, mivel a vetület e₁ irányú:

w₂ = r₂·e₁ (ez vektor)

w₂ = [0, 1/2, 1/2]

Na most az u₂ és w₂ vektorokat ha felrajzolod a közös síkjukban, akkor a csúcsaikat összekötve egy derékszögű háromszöget kapsz. Ezt a derékszögű befogót így kapjuk meg:

v₂ = u₂ - w₂

hisz w₂ + v₂ = u₂

v₂ = [0, 1/2, -1/2]

Ez lesz az új második vektor, és mivel ortonormált kell, ezért normalizáljuk. A hossza √(1/4+1/4) = 1/√2, ezzel osztjuk, vagyis √2-vel szorozzuk:

e₂ = [0, 1/√2, -1/√2]


A harmadik eredeti bázisvektor:

u₃ = [1, 0, 0]

Ezt kell vetíteni e₁-re is és e₂-re is. A vetületek hosszai skalárszorzással jönnek ki:

r₃₁ = e₁·u₃ = 0

r₃₂ = e₂·u₃ = 0

Ha nem nulla lenne, akkor a vetületvektorokat is ki kellene számolni:

w₃₁ = r₃₁·e₁ = [0, 0, 0]

w₃₂ = r₃₂·e₂ = [0, 0, 0]

Ugyanúgy, ahogy az e₁-re merőleges volt az u₂-w₂ vektor, úgy most az e₁,e₂ síkra merőleges az u₃-w₃₁-w₃₂ vektor, mert a w₃₁+w₃₂ vektor és u₃, ha behúzzuk a csúcsaikat összekötő egyenest is, derékszögű háromszöget kapunk.

v₃ = u₃-w₃₁-w₃₂ = [1, 0, 0]

Ezt is normalizálni kell, de mivel a hossza 1, egyszerű:

e₃ = [1, 0, 0]


Kész is vagyunk, e₁, e₂ e₃ az új ortonormált bázis.


----


Ha nem ebben a sorrendben csináljuk, hanem mondjuk így:

u₁ = [1, 0, 0], normalizálva:

e₁ = [1, 0, 0]


u₂ = [0, 1, 0]

Ennek vetülete e₁-re:

r₂ = e₁·u₂ = 0 (a vetület hossza)

w₂ = r₂·e₁ = [0, 0, 0]

Az e₁-re merőleges vektor:

v₂ = u₂ - w₂ = [0, 1, 0]

Ennek normalizáltja:

e₂ = [0, 1, 0]


u₃ = [0, 1, 1]

Ennek vetülete e₁-re és e₂-re:

r₃₁ = e₁·u₃ = 0 (a vetület hossza)

w₃₁ = r₃₁·e₁ = [0, 0, 0]

r₃₂ = e₂·u₃ = 1 (a másik hossz)

w₃₂ = r₃₂·e₂ = [0, 1, 0]

A merőleges vektor:

v₃ = u₃ - w₃₁ - w₃₂ = [0, 0, 1]

Ennek normalizáltja:

e₃ = [0, 0, 1]


Kész, megkaptuk a közismert bázist.


---

Látszik, hogy attól függően, milyen sorrendben csinálod, más-mást kapsz, de az mind jó ortonormált bázis.

2016. máj. 4. 22:51
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/2 A kérdező kommentje:
Nagyon szépen köszönöm, rengeteget segítettél!
2016. máj. 8. 22:11

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!