Egy mozgó részecske a tér A= (3, -2,1) pontjából a tér B= (2, -4,3) pontjába halad egyenes vonalú egyenletes mozgást végezve v (t) =3 [m/s] állandó nagyságú sebességgel. Mi a részecske helyzete a t=1 [s] időpillanatban?

Az a baj, hogy a "szerintem"-mel nem tudunk itt mit kezdeni (azon kívül, hogy arra az esetre végigszámolod), mert tényleg akármennyi lehet az egységvektor hossza.

Viszont én olyat állítottam tegnap, ami nem feltétlenül igaz, de azért írtam, mert feltételeztem, hogy a megadott válaszokban van egy közös: mindegyik az AB által meghatározott egyenesre esik. Ezt viszont ki kell számolni; tudjuk, hogy az AB irányvektora (-1;-2;2), és ahogy már fent írtam, úgy kapjuk meg a t időpillanatban a részecske helyzetét, hogy megszorozzuk a vektort egy skalárral, majd hozzáadjuk a vektor koordinátáit az A pont koordinátáihoz (mivel az a kiindulópont), tehát az egyenes pontjai felírhatóak így:

vektor skalárszorosa: c*(-1;-2;2)=(-1*c;-2*c;2*c)=(-c;-2c;2c), ezt hozzáadjuk A koordinátáihoz: (3+(-c);-2+(-2c);1+2c)=

=(3-c;-2-2c;1+2c), ezzel megadtuk c függvényében az egyenes pontjainak koordinátáit, ám igazából ez csak egy félegyenes; ha azt mondjuk, hogy az A->B a pozitív irány, akkor c értéke csak nemnegatív lehet (c=0 esetén visszakapjuk az A pontot).

Most nézzük meg, hogy van-e olyan c, hogy mindhárom koordináta megegyezik, vagyis:

a) Első koordináta: 3-c=2,1, erre 0,9=c adódik.

Második koordináta: -2-2*0,9=-3,8, nekünk, 0,7 kellene, tehát már itt eldől, hogy az a) nem lehet megoldás.

b) Első koordináta: 3-c=2,4, erre 0,6=c adódik.

Második koordináta: -2-2*0,6=-3,2, ez sem nyert (-0,3 kellene)

d) Első koordináta: 3-c=2,2 -> 0,8=c

Második koordináta: -2-2*0,8=-3,6, ez sem lehet esélyes.

c) Első koordináta: 3-c=2,6, 0,4=c

Második koordináta: -2-2*0,4=-2,8, ebből már lehet valami.

Harmadik koordináta: 1+2*0,4=1,8, tehát ez is lehet jó megoldás.

Ebben az esetben ki tudjuk számolni az egységvektor hosszát; az egységvektor hossza mindig 1 egység (azért egységvektor), ennek a k-szorosának hossza k. Most nézzük meg, hogy az A és a c)-ben szereplő pont (ez legyen C) hány egység távolságra vannak egymástól, ehhez számoljuk ki a vektorukat: AC->=(-0,4;-0,8;0,8), ennek a hossza a téglalap testátlójánál tanultak alapján gyök((-0,4)^2+(-0,8)^2+(0,8)^2)=gyök(1,44)=1,2. Mivel 1 s alatt ide jutott, és 3m/s-os sebességgel haladt a részecske, ezért azt mondhatjuk, hogy az 1,2 egységhossz 3 méternek felel meg, vagyis az egységvektor hossza 3/1,2=~2,5 méter. Máris látható, hogy nem feltétlenül 1 méter az egységvektor hossza, de még csak nem is feltétlenül egész (sőt, akár irracionális is lehetne).

Ilyen formában ennek két megoldása van, melyek kizárják egymást, tehát ha a c) és e) közül pontosan az egyiket jelölöd meg, akkor helyes választ adsz a feladatra, bár oda kellene írni, hogy a c) esetben az egységvektor hossza, 2,5 méter, az e) esetben bármilyen pozitív szám, kivéve a 2,5 métert.

Hajmeresztő, amiket itt olvasni! Kik járnak ide válaszolni?

Az egységvektor hossza meglepő módon 1, attól egységvektor, de ez minket most marhára nem érdekel.

Ami hiányossága lehet a feladatnak, az mindössze annyi, hogy nem adja meg egyértelműen a kezdeti pozíciót. Tehát feltételezhetően a t=0 időpillanat az, amikor a részecske még az A pontban van, és a koordináták méterben értendőek.

A mozgás, azaz a sebesség irányvektora a két pont helyvektorának különbsége: (-1, -2, 2), ennek hossza, azaz a két pont távolsága pontosan 3. És minő véletlen, a sebesség is éppen ennyi, tehát 1 s múlva a részecske a B pontban lesz. Tehát a válasz:

e) egyik sem, valami más

Ennyi volt a feladat.