Szerkessz egy konvex négyszög egyik csúcsán át olyan egyenest, mely a négyszöget kettő egyenlő területű részre bontja! (? )

Ha a négyzet átlói felezik egymást, akkor az átló felezi a területet. Ilyenkor ugyanis a két átló négy olyan kis háromszögre bontja a négyszöget, amik közül kettő-kettő ugyanakkora területű.

Így most feltesszük, hogy nem ez a helyzet. Tekintsük az ABCD négyszöget, ennek az A csúcsán át szerkesztjük meg a kívánt egyenest.

Legyen F a BD átló felezőpontja. Húzzunk F-en keresztül párhuzamost az AC átlóval! Ez a BC vagy CD szakaszok valamelyikét metszeni fogja, tegyük fel, hogy a BC-t metszi. (Átbetűzéssel ez elérhető.) Legyen a BC-vel alkotott metszéspont P. Ekkor a keresett egyenes AP.

Bizonyítás:

Húzzunk párhuzamost D-n keresztül is az AC átlóval, és ennek a BC egyenessel való metszéspontja legyen E.

Ekkor

T(ABP)=T(APE).

Ugyanis F a BD szakasz felezőpontja volt, így a párhuzamos szelők tétele miatt P a BE szakasz felezőpontja. Ebből következik, hogy az ABP és APE háromszöek BP és PE oldalai ugyanakkorák, a hozzájuk tartozó magasságok megegyeznek, így ugyanakkora területűek.

Itt

T(APE)=T(APC)+T(ACE).

Viszont

T(ACE)=T(ACD).

DE ugyanis párhuzamos AC-vel, tehát a két háromszög közös AC oldalához tartozó magasságok megegyeznek, így a területük is.

Tehát

T(ABP)=T(APE)=T(APC)+T(ACE)=T(APC)+T(ACD)=T(APCD).

Vagyis valóban, az ABCD négyszöget egyenlő területű részekre bontotta AP.