Segítene valaki? Határozzuk meg z-t, hogyha |z|=1 és (z-1) (z-i) valós szám.

Triviálisan z=1 és z=i biztosan jó lesz.

Bontsuk fel a zárójelet: z^2-z*(1+i)+i. Tegyük fel, hogy z=a+bi, tehát

(a+bi)^2-(a+bi)*(1+i)+i=a^2-2abi-b^2-a+b-ai-bi+i=

=a^2-b^2-a+b+i*(-2ab-a-b+1)

Értelemszerűen ez akkor lesz valós, hogyha i*0 van, tehát

-2ab-a-b+1=0. Azt is megadták, hogy |z|=1, ez z=a+bi esetén a^2+b^2-tel egyenlő, tehát a^2+b^2=1. Ezeknek egyszerre kell teljesülniük, tehát egyenletrendszerbe foglaljuk őket:

-2ab-a-b+1=0 }

a^2+b^2=1 }

Az első egyenletből a=-(b-1)/(2b+1) adódik, ezt beírjuk az első egyenletbe:

(-(b-1)/(2b+1))^2+b^2=1

Ha jól látom, ez megoldható elemi módszerekkel, de ezt megspórolva használjuk a Wolframalphát:

[link]

Ezek tudatában már az a is meghatározható, ezzel pedig a keresett komplex számok.

#1: vétettél egy előjelhibát.

Ha z = a + bi

akkor (z-1)(z-i) = (a-1 + bi)(a + (b-1)i) = (a(a-1) - b(b-1)) + ((a-1)(b-1) + ab)i

ami akkor valós, ha

(a-1)(b-1) + ab = 0

2ab - a - b +1 = 0

Fejezzük ki b-t:

b(2a-1) - a + 1 = 0

b = (a-1)/(2a-1)

|z| = 1, ezért a² + b² = 1

a² + (a-1)²/(2a-1)² = 1

(a-1)²/(2a-1)² = 1-a² = (1-a)(1+a)

a=1 esetén mindkét oldal 0, tehát a₁=1 az első megoldás, b₁=(a₁-1)/(2a₁-1) = 0

Ha a≠1, oszthatunk (a-1)-gyel:

(a-1)/(2a-1)² = -(1+a)

1-a = (a+1)(2a-1)² = (a+1)(4a² - 4a + 1)

1-a = 4a³ - 4a² + a + 4a² - 4a + 1

Szerencsére lehet sok mindent összevonni:

4a³ - 2a = 0

2a(2a²-1) = 0

a=0 esetén mindkét oldal 0, tehát a₂=0 a második megoldás, b₂=(a₂-1)/(2a₂-1) = 1

Ha a≠0, oszthatunk vele... a folytatást már rád bízom.