Teljes indukciós házi feladat (? )
Sziasztok emelt matekra kellene a következő bizonyítás, ilyen feladatot még nem csináltunk, emiatt nem igazán tudom, hogy hogyan kellene nekiállni. Teljes indukciót kell használni, valaki le tudná írni lépésről lépésre a megoldást?
(1/2)*(3/4)*...*(2n-1)/(2n)>1/(2*sqrt n)
Először is vizsgáljuk meg, hogy n=1-re igaz-e:
(1/2)*(3/4)*...*1/2 > 1/2
Mivel látszik, hogy a bal oldal nem nagyobb, mint 1/2, ezért már meg is dőlt, az állítás hamis.
Ha n=2, akkor
bal oldal: 1/2*3/4=3/8
jobb oldal: 1/(2*gyök(2))
Az a kérdés, hogy 3/8>1/(2*gyök(2)) igaz-e. Emeljük négyzetre mindkét oldalt:
9/64>1/8=8/64, tehát igaz.
Tegyük fel, hogy n-ig igaz, nézzük meg, mi a helyzet, n+1 esetén, vagyis
[(1/2)*(3/4)*...*(2n-1)/(2n)]*(2n+1)/(2n+2)>1/(2*gyök(n+1))
A []-ben található résztől tudjuk az indukciós feltevés miatt, hogy az nagyobb, mint 1/(2*gyök(n)); ha ezt beírjuk a helyére, majd az így kapott kifejezésre belátjuk, hogy arra igaz, akkor az eredetire is igaz lesz. Tehát
1/(2*gyök(n))*(2n+1)/(2n+2)>1/(2*gyök(n+1))
Mindkét oldalt négyzetre emeljük:
1/(4n)*(2n+1)^2/(2n+2)^2>1/(4n+4)
Ezt már elemi módszerekkel könnyen meg tudjuk oldani, így, hogy neked is legyen vele munkád, vezesd le WolframAlphával kiíratjuk, hogy milyen n-ekre igaz ez:
Nekünk az a rész kell, hogy n>0.
Tehát az egyenlőtlenség minden n>=2-re igaz lesz.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!