Sík analitikus geometriában egyenes egyenletének számolása. Az adatok:origóhoz legközelebbi pont (1,8, -2), irányvektor (1-re normálva) (-62/√6096;-4/√6096;-47/√6096) Paraméteres alak és egyenletrendszer felírása hogyan lehetséges?

Van az egyenes egy pontja és az irányvektora.

Ez a legegyszerűbb esete az egyenes egyenlet felírásának.

Az ne zavarjon meg, hogy a pont a lehető legközelebb van az origóhoz, ez tök mindegy. A lényeg, hogy a pont rajta van az egyenesen. Az is mindegy, hogy az irányvektor normálva van-e vagy nem.

Az egyenlet úgy jön ki, hogy belegondolsz, hogy az egyenes egy tetszőleges pontja mi lesz? Hogyan tudsz eljutni tetszőleges pontba a P-ből? Ez egyszerűen P+v·t lesz, vagyis a P pont koordinátáihoz hozzáadjuk az irányvektort valahányszor. A t paraméter megfelelő értékével minden ponthoz el lehet jutni.

x = 1 + (-62/√6096)t

y = 8 + (-4/√6096)t

z = -2 + (47/√6096)t

Baromi ronda lett. Hogy ne legyenek ilyen durva számok, használjunk inkább egy nem normált irányvektort, amiben nincsenek azok a gyökök. Vagyis használjunk egy sokkal hosszabb irányvektort:

x = 1 - 62t

y = 8 - 4t

z = -2 + 47t

Ez volt a paraméteres alak (a paraméter a t változó. t-nek szokás hívni, ami a time rövidítése.)

Ez a fenti egyenletrendszernek néz ki, szokták is hívni paraméteres egyenletrendszernek, de valójában egyetlen egyenlet, ha vektorosan írod fel: (x,y,z) = (1,8,-2) + (-62,-4,47)·t

Paraméter nélküli egyenletrendszer úgy lesz a fenti 3 paraméteresből, hogy mindháromból kifejezzük t-t:

t = (1-x)/62

t = (8-y)/4

t = (z+2)/47

És ezek mind egyenlőek, hisz a t azonos bennük:

(1-x)/62 = (8-y)/4 = (z+2)/47

Ez az egyenes egyenletrendszere.

Nem szokás, de fel lehet írni úgy is, hogy jobban egyenletrendszernek nézzen ki: pl. ez a 2 egyenlet lesz belőle:

(1-x)/62 = (8-y)/4

(8-y)/4 = (z+2)/47