Virtuális munka, D'Alambert. Hogyan oldhatnám meg?

Legyen az ék 4 és 5 egység hosszúságú oldalai által bezárt szög α.

A lelógó tömeg csak függőleges irányban tud elmozdulni, tehát a virtuális elmozdulása, a δR vektor, függőleges kell legyen, az elmozdulás függőleges komponensét jelölje majd x, a lefelé irányt pozitívnak választva. A kis m tömegű test virtuális elmozdulásának δr vektora párhuzamos az 5 egység hosszúságú éllel, így a vízszintessel α szöget zár be. Ezenkívül, mivel a testek össze vannak kötve, δR és δr nagysága egyezik, ezért a kis test elmozdulásának nagysága is x, a függőleges komponensére –x*sin(α) adódik.

A rendszerre két szabad erő hat, az m tömegű testre ható m*[g]; és a lelógó testre ható M*[g] nehézségi erő (a szögletes zárójel azt akarja mutatni, hogy δR-hez és δr-hez hasonlóan a [g] is vektor, aminek a függőleges komponensét g-vel fogom jelölni). A virtuális munkák a megfelelő skalárszorzatok:

M*[g]*δR és m*[g]*δr,

ezek összege 0 a virtuális munka elve alapján – mivel [g]-nek csak függőleges komponense van, ezért a δr-eknek is csak az a komponense marad meg:

M*g*x – m*g*x*sin(α) = 0,

M = m*sin(α) = 0,6*m

(a 0,6 = 3/5 ugye szinusz definíciója alapján került oda).

Szóval kevésbé szájbarágósan, ha jól megy a skalárszorzás, és olyannak írod, aki feltehetőleg tudja miről van szó:

[ÁBRA: derékszögű háromszög, két test, fonál; meg még α, a két nehézségi erő és a két x nagyságú elmozdulásvektor bejelölve.]

δA = M*[g]*δR + m*[g]*δr = M*g*x – m*g*x*sin(α) = 0,

Μ = m*sin(α) = 3/5*m.

ENNYI. (Hasonlóságokra hivatkozva mondjuk a szinuszt is kikerülhettük volna. Na mindegy.)

Ellenőrzésképpen – meg hogy lásd, miért jó ez a „hülyeség” – oldd meg a feladatot a Newton-egyenletekkel is (két test, két egyensúlyi egyenlet, 2-2 komponens a mozgás síkjában, meg a kényszer, hogy a kötélerők nagysága egyforma, kapásból nem kétsoros lesz a megoldás, de ellenőrzésnek jó).