Mik a megoldásai ezeknek az algebra és számelméletes feladatoknak?

Az elsőben az a <> jel skaláris szorzatot jelöl? Mert akkor nem igaz. Pl u(1;2) + v(2;3) és w(-3;-5) esetben.

A másodikban az első végeredménye (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) de a bizonyításom igen bonyolult rá.

A b) résszel még lehet, hogy foglalkozom...

a 11. feladatban azt kell belátni, hogy csak triviális lineáris kombináció adhat 0-t.

Azaz ha k darabot veszünk, akkor ez így néz ki:

m1/n1*lnp1 + m2/n2*lnp2 +....+ mk/nk*lnpk = 0

(itt minden mi egész és ni poz.egész)

Használjuk az ln azonosságokat. Ez lesz:

ln( n1-edik gyök(p1^m1) * n2-edik gyök(p2^m2) * nk-adik gyök(pk^mk) ) = 0

azaz az ln-en belüli szorzat = 1.

Emeljük mindkét oldalt az n1*n2*...*nk -adik hatványra, ekkor prímek egész kitevős hatványainak szorzata =1 lesz.

A negatív kitevősök reciprokával szorozva mindkét oldalon prímek nemnegatív kitevős hatványinak szorzata van. Mivel ezek különböző prímek, emiatt csak akkor lehet a két oldal egyenlő, ha minden kitevő 0.

Ekkor pedig triviális lineáris kombináció volt. (azaz minden együttható 0 volt).

6: szemléletesen arról van szó, hogy ha három vektor egy síkba esik, akkor bármelyik kettõ által kifeszített sík ugyanaz. Legalábbis általában, nyilván lehetnek olyan esetek hogy valamelyikük zéró, vagy hogy két vektor egybeesik, és akkor egyenest veszítenek ki, stb.

A bizonyításhoz nem kell ötlet, csak a definíciót kell tudni hozzá, és felírni.

Azt akarjuk, hogy

> <u,v> = <u,w>

azaz, mindenki, aki eleme az egyik térnek az eleme a másiknak is. ((Két halmaz egyenlõsége egy "akkor és csak akkor" típusú állítás, mindkét irányt be kell látni))

Szimmetria miatt elég belátni, hogy

> <u,v> \subset <u,w>,

ebbõl már következik az álítás.

Legyen q egy vektor, hogy

> q \in <u,v>.

Ekkor q elõáll

> q = au + bv

alakban, a generált-altér definíciója szerint. ((Ha megmutatjuk hogy tetszõleges q \in <u,v> vektor eleme a másik "síknak" is, akkor minden q eleme, szóval ez elég)) A feltétel szerint:

> u + v + w = 0

> v = - u - w

(Valahányadik vektortér-axióma.) Beírva:

> q = au + b(-u-w) = (a-b)u + (-b)w

Tehát <u,v> minden eleme benne van <u,w>-ben is, és ez igaz fordítva is, tehát megegyeznek.

((Megjegyzések:

-- A megoldásban nagy hangsúlyt fektettem a halmazos-tartalmzós részre, alapesetben nem kell ennyit. Alapvetõen leírható az egész két sorban.

-- Tovább lehet a megoldást precizírozni, ha az egyenletek rendezésénél hivatkozol a felhasznált axiómákra.

-- Az állítás és a bizonyítás tetszõleges, akár nagyon ronda vektortereken is mûködik.

-- Értelemszerûen kibõvíthetjük az állítást úgy, hogy

> <u,v> = <u,w> = <v,w>

És akkor szép szimmetrikus lesz.))

6.Feladathoz példa lehet a 11-es feladat:

Az ln 2, az ln 3, illetve a - ln 6 ilyen vektorok. (Q fölött)

Az állítás szerint a 2 és az 1/6 hatványainak a szorzatából elõálló számok (2^(a/b)*(1/6)^(c/d) alakúak) pontosan ugyanazok, mint a 3^(a/b)*(1/6)^(c/d) alakú számok.

Ez így már elég messze van a síkos-kifeszítõs szemlélettõl.

((És ha jól nézem, egyáltalán nem kell ehhez az állításhoz a SZAT, elég a 6-os feladat állítása, de lehet hogy benézek valamit.))

vurugya béla írta:

"A másodikban az első végeredménye (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) de a bizonyításom igen bonyolult rá. "

Ez tényleg annyi lesz.

Teljes indukciós bizonyítás:

- 1-re és 2-re igaz

- feltesszük, hogy n-1-re és n-re igaz: det: Dm = (a^n-b^n)/(a-b) illetve Dn = (a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)

( itt végül is m-mel jelöltem n-1-et.)

- n+1-re:

A mátrix így néz ki:

[a+b  1 0...0 ]

[ ab   * * * * ]

[  0    * * * * ]

[  ...   * * * * ]

[ 0 * * * * ]

És itt a **** mátrix ugyanez az n×n-es mátrix, aminek ismert a determinánsa: Dn

Szükségünk van még arra a mátrixra is, ami ebből úgy jön ki, hogy elhagyjuk a felső sort és a második oszlopot:

[ ab 1 0 0 ]

[ 0 * * * ]

[ ... * * * ]

[ 0 * * * ]

Ebben a *** mátrix ugyanilyen szerkezetű (n-1)×(n-1)-es, ismert a determinánsa: Dm

Ennek a mátrixnak pedig a determinánsa egyszerűen ab·Dm (hisz az első oszlop többi eleme 0)

A felső (n+1)×(n+1)-es mátrix determinánsa pedig:

(a+b)·Dn - 1·(ab·Dm)

= (a^(n+2) - b^(n+2))/(a-b) + (b·a^(n+1)-a·b^(n+1))/(a-b) - ab(a^n-b^n)/(a-b)

= (a^(n+2) - b^(n+2))/(a-b)

Kész.

- - - - - - - - -

A b) rész is bizonyítható ugyanígy teljes indukcióval: Det = cos(nφ)

- 1-re és 2-re igaz

- feltesszük, hogy n-1-re és n-re igaz: det: Dm = cos((n-1)·φ) illetve Dn = cos(n·φ)

- n+1-re:

A mátrix így néz ki:

[ * * * * 0 ]

[ * * * * ...]

[ * * * * 0 ]

[ * * * * 1 ]

[ 0...0 1 2c] ahol 2c = 2·cosφ

És itt a **** mátrix ugyanez az n×n-es mátrix, aminek ismert a determinánsa: Dn

Szükségünk van még arra a mátrixra is, ami ebből úgy jön ki, hogy elhagyjuk az alsó sort és az utolsó előtti oszlopot:

[ * * * 0 ]

[ * * * ...]

[ * * * 0 ]

[0 0 1 1 ]

Ebben a *** mátrix ugyanilyen szerkezetű (n-1)×(n-1)-es, ismert a determinánsa: Dm

Ennek a mátrixnak pedig a determinánsa egyszerűen 1·Dm (hisz az utolsó oszlop többi eleme 0)

A felső (n+1)×(n+1)-es mátrix determinánsa pedig:

2c·Dn - 1·(1·Dm)

= 2cosφ·cos(nφ) - cos((n-1)φ)

= 2cosφ·cosnφ - (cosnφ·cosφ + sinnφ·sinφ)

= cosφ·cosnφ - sinnφ·sinφ

= cos(nφ+φ)

Kész.

#4 és #5 válaszolójának írom a következőket:

1./Azért írhattál volna többet is a "> q \in <u,v>" és "> q \subset <u,v>" jelöléseidről.

2./ Szeretnék egy ellenpéldát bemutatni. Vegyük R2 elemei közül u=(3;0), v=(0;4) és w=(-3,-4). Ekkor u+v+w=(0,0), azaz nullvektor. És <u,v>=0, <u,w>=-9, <v,w>=-16. Ebben az esetben R2 vektortérre nem igaz a bemutatott bizonyítási eljárásod. Sz. Gy.

Kedves Sz. Gy. Nem neked válaszoltam, hanem a kérdést kiírónak.

Ha nem értesz egy jelölést, azzal nem tudok mit kezdeni. Továbbá, nem célom olyan válaszokat adni, hogy mindenki megértse. (Nem lenne egy elõnyös cél, be kell látnod neked is, egy kérdésre kidolgozni mindent az alapoktól, tetszõleges jöttment, témához nem értõ Sz. Gy. is vágja hogy mirõl van szó.)

Mindazonáltal a figyelmedbe ajánlom az alábbi részletet:

"Legyen q egy vektor, hogy

> q \in <u,v>.

Ekkor q elõáll

> q = au + bv

alakban, a generált-altér definíciója szerint."

Illetve az elõzõ két komment újbóli olvasását. (Úgy gondolom, hogy bár az állítás maga teljes mértékben evidencia, sikerült hozzáadnom valamit, amitõl egy kicsit érdekes és hasznos lett a válaszom (a második)).

((pf. Ez nagyon szerencsétlen jelölés lett most. Szóval <u,v> a két vektor által kifeszített sík (vagy egyenes vagy pont, ha mindketten 0-k). Vagyis egy vektorokból álló halmaz.

És alapvetõen a csõrök közötti halmaz jelentése (lehet) a generált struktúra (is). Ahol a generátorrendszer nem szükségképpen megszámlálható, hiába sikerült úgy jelölnöm az elõbb hogy V={u,v,w,..}. (Így csak a megszámolható halmazokat jelölik.)))