Egy háromszög szögei a, p, y. Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyet a beírt kör érintési pontjai határoznak meg?

Egy rajzot tudok mutatni:

[link]

Ez tényleg elég a megoldáshoz?

Megvizsgálva az ábrát, kiderül, hogy

az ADF hsz. egyenlő szárú hsz., AD = AF

a szárszög α,

az alapon fekvő szögei egyenlők ADF szög = AFD szöggel, ezek nagysága

(180 - α)/2

Hasonlóképp a ß szárszögű háromszögből - ami szintén egyenlő szárú hsz. - a BDE szög nagysága

(180 - ß)/2

Az AB oldalon a D pontnál levő teljes szögre írható

(180 - α)/2 + (180 - ß)/2 + δ = 180

Összevonás után

δ = (α + ß)/2

==========

Hasonlóképp a másik két szögre

ε = (ß + γ)/2

===========

ill

kszi = (α + γ)/2

============

Ezen kívül van még más gondolatmenet is a megoldáshoz.

Egy másik megoldás

A δ szög az ábra jelöléseivel

δ = ODFszög + ODE szög

Az ADOF négyszög egy derékszögű deltoid, ami az átfogójuk mentén összeillesztett két derékszögű háromszögből áll.

Az AO szakasz a deltoid egyik, a DF szakasz a másik átlója, melyek merőlegesek egymásra.

Így a hasonló háromszögek miatt

ODF szög = OAD szög = α/2

Hasonlóképpen

ODE szög = ODB szög = ß/2

Ezekkel

δ = ODFszög + ODE szög

δ = α/2 + ß/2

δ = (α + ß)/2

==========

A többi szögre ugyanígy.