Hogyan oldható meg a következő feladat? Fejtse hatványsorba az f (x) =e^2x (a 2x a hatványkitevőben van) függvényt az X=0 helyen a negyedfokú tagig. Ennek segítségével számolja ki e közelítő értékét.

Az e^x sorfejtése: e^x=∑x^n/n!

Akkor e^(2x) sorfejtése: e^(2x)=∑(2x)^n/n!

A negyedfokú tagig felírva: 1 + 2x + 4x²/2 + 8x³/6 + 16x⁴/24 = 1 + 2x + 2x² + 4x³/3 + 2x⁴/3

e közelítő értéke: e=e¹, tehát x=1/2: 1 + 2·½ + 2·½² + 4·½³/3 + 2·½⁴/3 = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 = 2,708333

f(x)=\sum\frac{(x-x_0)^n D^n(f)(x_0)}{n!}

D^0(e^{2x})=e^{2x}

D^1(e^{2x})=2e^{2x}

D^2(e^{2x})=4e^{2x}

D^3(e^{2x})=8e^{2x}

D^4(e^{2x})=16e^{2x}

Ha x_0=0, akkor e^{2\cdot0}=1, így

e^{2x}\approx 1+\frac{2x}{2}+\frac{4x^2}{6}+\frac{8x^3}{24}+\frac{16x^4}{120}. A behelyettesítést meghagyom neked, nem akarlak azzal megalázni, hogy feltételezem, azt sem tudod megcsinálni.