Hogyan integrálom a (2-cos^2x) /sin^2x-et?

A szubsztitúciós (behelyettesítéses) módszert alkalmazod:

sinx = t

sin²x = t²

cos²x = 1 – sin²x = 1 – t²

cosx = √(1– sin²x) = √(1 – t²)

dsinx/dx = dt/dx

cosx = dt/dx

cosx*dx = dt

dx = dt/cosx = dt/√(1 – t²) = 1/√(1 – t²)dt

∫(2 – cos²x)/sin²x*dx = ∫[2 – (1 – t²)]/t²*1/√(1 – t²)dt = ??

Gondolom, a többi már menni fog. Ha nem, szólj (a végén visszahelyettesíted a „t“ helyébe a sinx-et).

∫(2 – cos²x)/sin²x*dx = ∫[2 – (1 – t²)]/t²*1/√(1 – t²)dt = ∫[2 – 1 + t²)]/[t²*√(1 – t²)]dt = ∫[1 + t²)]/[t²*√(1 – t²)]dt = ∫1/[t²*√(1 – t²)]dt + ∫t²/[t²*√(1 – t²)]dt = ∫1/[t²*√(1 – t²)]dt + ∫1/√(1 – t²)dt = ∫1/[t²*√(1 – t²)]dt + arcsin t

Eddig jutottam. Azt most nem tudom, hogy ezt a kifejezést: ∫1/[t²*√(1 – t²)]dt hogyan integrálják, itt már én is elakadtam.

Csak az érdekesség kedvéért megpróbálom befejezni:

∫1/[t²*√(1 – t²)]dt + arcsin t = –√(1 – t²)/t + arcsin t + C

Behelyettesítjük a „t“ helyébe a sinx-et:

–√(1 – t²)/t + arcsin t + C = –√(1 – sin²x)/sinx + arcsin(sinx) + C = –cosx/sinx +x = –cotgx + x + C = x – cotgx + C

Úgy néz ki, hogy ez a módszer ebben az esetben kissé bonyolult volt.