Van 1 kutyám. Jutalomcsontját a 6. lépcsőfokra helyeztem el. Vagy egyesével vagy kettesével tud felmenni érte a lépcsőn. Hány különböző módon jut fel a 6. lépcsőfokra? Magyarázattal!

Ha jól értem, akkor minden lépésnél dönthet, hogy egy, vagy két fokot tesz meg. Így tehát 1-es és 2-es számok segítségével kell olyan "csomagokat" összerakni, ahol az összeg 6.

ha csak 2 lépcsőfokos lépései vannak, akkor

1 lehetőség van (2+2+2)

ha az egyik 2-es helyett két 1-est lép, akkor 4 lépése lesz összesen. 6 féle lehetőség adódik (1212;1122;1221;2121;2211;2112)

ha csak egyszer lép 2 fokot egyszerre a többi 1-es, akkor 1,1,1,1,2, tehát öt lépésből ér fel, ebben az esetben öt lehetőség van (21111;12111;11211;11121;11112)

ha pedig mindig csak egyet lép egyszerre, akkor

111111, csak egyféle lehetőség van.

(annak ellenére, hogy számjegyek vannak egymás mellett, ezek csak a különböző kombinációk bemutatására szolgálnak nem pedig számok)

ez összesen tehát 1+6+5+1=13 különböző módon juthat föl a lépcsőn a kutya.

Világos hogy a hatodik lépcsőfokra annyi féle képpen tud felmenni, ahány féle képpen a negyedikre + az ötödikre. Sőt, ez tetszőleges n-ik lépcsőfokra igaz.

Hogy a 6-odikat megtudjuk, sorban kitöltjük a táblázatot, minden n lépcsőfokszámra meghatározzuk a #s sorrendek számát:

n #s

1 1

2 2

3 1+2=3

4 2+3=5

5 3+5=8

6 5+8=13

sít.

Ez a számsorozat egyébként (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 stb) az ún Fibonnacci sorozat. Bővebben:

[link]