Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Valaki segítene ebben a matek...

Valaki segítene ebben a matek háziban? Nagyon nem megy már felette ülök 1 órája

Figyelt kérdés
Egy számtani sorozat első tagja 6, differenciája 3-nál nagyobb prímszám. A sorozat első 5 tagjának négyzetét összeadva olyan számot kapunk mely szintén tagja a sorozatnak. Hányadik tagja ez a sorozatnak?
2017. ápr. 16. 12:20
 1/4 anonim ***** válasza:
100%

p jelölje a differenciát (mert prím, és én szeretem így jelölni)


Az első 5 tag:


6; 6+p; 6+2p; 6+3p; 6+4p


ezek négyzetösszege: 36 + (6+p)^2 + (6+2p)^2 + (6+3p)^2 + (6+4p)^2, összevonva 30p^2 + 120p + 180, ami szintén tagja a sorozatnak, vagyis létezik olyan K, amelyre

30p^2 + 120p + 180 = 6 + K*p.


Ezt átrendezve: -174 = 30p^2 + (120-K)p = (30p+120-K)*p


Ebből látszik, hogy p osztója 174-nek. 174=2*3*29.


Mivel p-ről tudjuk, hogy 3-nál nagyobb, így csak a 29 lehet.


ha p=29, akkor -174=(30*29+120-K)*29, innen K=996, vagyis a sorozat 997. tagjáról van szó.


Válasz: an=6+(n-1)*29; és a keresett szám a sorozat 997. tagja.


Ell: az első 5 tag: 6, 35, 64, 93, 122, ezek négyzetösszege 28.890, ami valóban a sorozat 997. tagja (28.890 = 6 + (997-1)*29)

2017. ápr. 16. 12:55
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/4 anonim ***** válasza:
100%

Hogyan lehet egy ilyenre rájönni?


Igazából egészen odáig, hogy az első 5 tag négyzetösszegét felírtam, és egyenlővé tettem 6+K*p -vel, odáig csak a szöveg adatait fordítottam le képletre. Itt felismertem, hogy két ismeretlenre van egy egyenletem, azonban a változókról tudjuk, hogy egész számok (diofantikus egyenlet), vagyis a számoknak valami tulajdonságát ki kell még használni, hogy megoldható legyen a feladat. Mivel K-ról nem tudunk semmit, adta magát, hogy p-ről kell kihasználni, hogy prímszám. Ezért hoztam a képletet olyan alakra, hogy: VALAMI SZÁM = (VALAMI)*p, mert ilyenkor a számelmélet alaptétele értelmében a p prímosztója a baloldalon álló számnak, ezesetben a -174-nek. A 174-et felbontottam prímtényezős alakra, amiből látszott, hogy p csak +-2, +-3 vagy +-29 lehet, de mivel a feladat kikötötte, hogy p 3-nál nagyobb, így egyértelműen p=29 a differencia. Innentől pedig a többi rutin számolás. :)

2017. ápr. 16. 13:03
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/4 A kérdező kommentje:
Köszönöm szépen szuperül megértettem! :)
2017. ápr. 16. 13:28
 4/4 anonim ***** válasza:

Örülök :D

Emelt érettségire gyakorolsz egyébként? :)

2017. ápr. 16. 15:17
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!