Tegyük fel, hogy az a, b, c, d, r számok benne vannak R valamely K résztestében, és az y=ax+b egyenletű egyenes metszi az (x-c) ^2 + (y-d) ^2=r egyenletű kört. (? )

Ha a lineáris egyenletből kifejezed x-et és belehelyettesíted a másodfokúba, akkor látod, hogy a metszéspont x koordinátájának a minimálpolinomja maximum másodfokú, tehát benne van K-nak egy maximum másodfokú bővítésében. Ha x benne van, akkor ax is benne van és ax+b is, ami pedig egyenlő y-nal, tehát y is benne van ugyanabban a bővítésben.

R-rel ugye a valós számokat jelölöd? Az, hogy az egyenes metszi a kört, azt jelenti, hogy az egyenletrendszer megoldásai valósak, tehát a koordináták felbontási testje is valós.

Ami még maradt, hogy mi van, ha a koordináták eleve benne vannak K-ban. És ilyenkor nem is feltétlenül igaz az állítás. Triviálisan pl akkor, ha K=R. Vagy akkor, ha veszed K algebrai bővítéseinek a testét. Vagy akkor, ha veszel egy tetszőleges résztestet és annak az összes kettőhatványfokú bővítésének az unióját. Tehát ha K-nak nincs másodfokú bővítése R-ben.