Mi a szomszédos Fibonacci számok hányadosának a határértéke?

megadható a Fibonacci sorozat n-edik eleme zárt alakban:

F(n)=[a^n-b^n]/gyök(5)

ahol a=(gyök(5)+1)/2

és b=(gyök(5)-1)/2

ezzel:

F(n+1)/F(n)=[a^(n+1)-b^(n+1)]/[a^n-b^n]

mivel gyök(5) "kiesik"

most egyszerűsítsünk a^n-nel:

F(n+1)/F(n)=[a-b*(b/a)^n]/[1-(b/a)^n]

mivel b/a kisebb 1-nél, ezért (b/a)^n határértéke 0

tehát a hányados határértéke a/1, azaz (gyök(5)+1)/2

Esetleg másképpen, csak a rekurziót használva:

a Fibonacci-sorozat definíciója:

a_{n+1} = a_n + a_{n-1};

osszuk el mindkét oldalt a_n-el:

a_{n+1} / a_n = 1 + a_{n-1} / a_n.

Ha a szomszédos tagok sorozatának határértékét vesszük, akkor határértékben az n+1-edik és n-edik tag megegyezik és éppen a keresett x határérték. Innen

x = 1 + 1/x.

Ennek a megoldása éppen az előző válaszban kapott eredmény.