Mi a különbség a racionális (Q) és a valós számok (R) között?

A racionális szám felírható két egész szám hányadosaként.

Pl. 0,25 racionális, mert 1/4

A PI (3,14...) értéke irracionális, mert nem írható fel két egész szám hányadosaként.

A valós számok a racionális és irracionális számok KÖZÖS halmaza. Tehát mindkettőt tartalmazza.

[link]

[link]

Ebben a két linkben nagyon érthetően és szájba rágósan elmagyarázzák. Ennél egyszerűbben nem igen lehet.

Még annyit hozzá teszek, hogy a racionális számok tizedes tört alakja is lehet végtelen, de mindenképpen szakaszos, tehát vagy egy vagy több szám ismétlődik a végtelenségig.

Pl. a 0,33333.. racionális, mert 1/3.

A 0,0833333.. szintén.

0,10714285714285714285.. ez is racionális (3/28), de itt már a "714285" szakasz ismétlődik.

Vannak erre módszerek, hogy hogyan tudod visszaírni közönséges törtté, de az már nem ide tartozik. :)

Igaz, középiskolás szinten nem igen kell ezeket tudni:

1. Axiómarendszerük szintjén a Cantor-féle axiómával több a valós számok halmaza, azaz:

Végtelen, egymásba skatulyázott, nem üres és zárt intervallumok uniója nem üres. Magyarul, ami lényeg, ez biztosítja azt, hogy felülről(alulról) korlátos nem üres halmaznak van legkisebb(legnagyobb) felső(alsó) korlátja/határa. A racionális számok halmaza az Arkhimedeszien-rendezett testtel azonos.

Példa: gyök 2 nem racionális, a gyök 2-nél kisebb racionális számok halmaza nem üres, és kisebb (például) 3-nál, azaz korlátos, de nincs felső határa, azaz legkisebb felső korlátja A HALMAZBAN!, vagyis a racionális számok között.

Topológia értelemben ezért a Q (csak) sűrű, míg az R teljes.

2. A halmazok számossága: Q megszámlálható végtelen, R kontinuum végtelen.

3. R-nek van olyan eleme mely nem gyöke egy n.fokú valós polinomnak. Ezek a transzcendes számok. Ilyen a pí (3.14..) is.

4. R-nek van önmagától különböző részteste (pl.: Q ), Q-nak nincs. (Olyan részhalmaz, amelyből az összeadás/kivonás és szorzás/osztás nem vezet ki)