Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Ha a^2+b^2 osztható 31-gyel,...

Adrian.Leverkuhn kérdése:

Ha a^2+b^2 osztható 31-gyel, akkor osztható 961-gyel is. Hogyan lehet bebizonyítani?

Figyelt kérdés

2017. szept. 16. 11:42
 1/3 anonim ***** válasza:
49%

Ha 31|a^2+b^2 , akkor 31|a^2 és 31|b^2.


Ezt nem tudom, hogy lehetne szépen bebizonyítani, de ha 0-30-ig a számok négyzeteit végignézzük, illetve ezek 31-es osztási maradékát, akkor ezek fordulnak elő:

0,1,2,4,5,7,8,9,10,14,16,18,19,20,25,28


Ezek közül kettő összege csak akkor osztható 31-el, ha 0+0 maradékot ad a két szám.



Ha 31|a^2-et, akkor 961|a^2

961|a^2, 961|b^2, vagyis 961|a^2+b^2

2017. szept. 16. 11:56
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/3 anonim válasza:

Legyenek a és b pozitiv számok, melyekre a^2 + b^2 egész szám és osztható 31-el.

Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, melynek befogói a és b hosszúságúak, átfogóját nevezzük c-nek. Ekkor tudjuk, hogy felírható a^2 + b^2 = c^2 azonosság, azaz ha a^2 + b^2 egész szám, akkor négyzetszám is. Mivel 31 prímszám, egy vele osztható négyzetszám felbontásában legalább 2-szer kell szerepelnie, ezért a^2 + b^2 osztható 31*31=961 -el is.


Ha a vagy b 0, a^2+b^2 akkor is négyzetszám.

Ha a vagy b negatív, a^2 + b^2 akkor is osztható 961-el, mert a^2 + b^2 = |a|^2 + |b|^2, amiről meg már láttuk hogy osztható.

2017. okt. 20. 22:35
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/3 anonim ***** válasza:

"Legyenek a és b pozitiv számok, melyekre a^2 + b^2 egész szám és osztható 31-el.

Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, melynek befogói a és b hosszúságúak, átfogóját nevezzük c-nek. "


Azt is bizonyítanod kéne, hogy c egész szám ilyenkor.



Pl, ha a^2+b^2 osztható 5-el, attól még 25-el nem biztos, hogy osztható.

Pl a=13, b=6

c^2 = 169+36

c^2 = 205

nem osztható 25-el.

és c nem egész, c = 14,31


De a 6,13, gyök(205) oldalú derékszögű háromszög nyilvánvalóan létezik.


Az 1. válaszom teljes értékű bizonyítás, nyilván nem túl szép.

2017. okt. 21. 13:18
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!