Mutassuk meg, hogy (a) 4k+1 alakú számok szorzata 4k+1 alakú. (b) végtelen sok 4k+3 alakú prímszám van. (Útmutatás tekintsuk 4p₁*p₂*. *p_ (n) -1 számot, ahol a p_ (i) prímek mindegyike 4k+3 alakú. )?

b.) Én inkább használnám a 4k-1 jelölést, ha nem baj. Bizonyítás: indirekt, tegyük fel, hogy véges sok 4k-1 alakú prím van, p_1, p_2, p_n. Képezzük a fenti különbséget, legyen ez a szám N! Ez a szám felírható q_1*q_2*..q_n alakban. Belátjuk, hogy q_i nem szerepel p_i között, ahol 1<=i<=n. q_i osztja N-et, hogyha ott szerepelne a p-k között, akkor osztaná 4*p_1*p_2*...*p_n-et. Mivel osztja a két számot, osztaná a különbségüket, ami 1, de q_i>2, ami ellentmondás. Hogyha q_i 4k-1 alakú lenne, akkor ellentmondásra jutnánk, ezért tételezzük fel, hogy 4k+1 alakú az összes q, viszont ekkor az a.) feladat szerint 4k+1 alakú számok szorzata is 4k+1 alakú, azaz N egyszerre lenne 4k-1 és 4k+1 alakú, ami ellentmondás. Vagyis végtelen sok 4k-1 alakú prím létezik. Remélem, tudtam segíteni. :)