Bizonyítsuk be, hogy hat egymást követő természetes szám közül mindig van egy, amelyik relatív prím az összes többihez. Mi a megoldás?

Ugye két szám akkor nem relatív prím, ha van közös prímosztójuk. 6 szám közül van 3 páros, ezek 2-vel oszthatóak, ők nem relatív prímek minden másikkal. Biztosan van egy 3-mal osztható páros és egy páratlan szám, ezek is kiesnek. Lehet, hogy van 2 5-tel osztható szám, ezek közül szintén egyik páratlan - eddig a 6 számból 5 lehet, hogy nem relatív prím a többiekkel. Viszont, mivel 6 egymás követő szám között nincs 2 olyan, amelyik osztható egy 5-nél nagyobb prímmel, ezért a 6. szám biztosan relatív prím a többiekkel.

Tehát összefoglalva a 6 szám közül, ha 2-t kiválasztunk, akkor közös prímosztójuk csak 2,3 és5 lehet. A 2-vel kizárjuk a 3 páros számot, a 3-mal és az 5-tel pedig 1-1 páratlant is kizárhatunk. De a 6. szám már biztosan nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel, tehát nincs közös prímosztója a többi számmal.