Igaz-e, hogy ha e>0 számhoz van olyan x, amelyre |f (x) - L|<_e, akkor limf (x) =L?

Nem azt kérdezi szerintem, első. limf(x)-et írt.

De mi a kérdés kérdező?

Nem, nem azt kérdezte. Az e előtt nincs kvantor, az x előtt viszont van.

Azt kérdezte, hogy ha egy adott e értékre van olyan x, amire f(x) e-nél közelebb van L-hez, akkor ebből következik-e, hogy f(x)=L. (A limesz itt nem csinál semmit, mert ugyanabban az állításban egy kvantorral már megkötötte az x-et. Egy konstans határértékéről van szó, bár nem derül ki, hol. Szerencsére mindenhol ugyanannyi.)

Szerintem is sok hiányossága van a feladat leírásának.

A legnagyobb baj, hogy nem tudni, hogy hol vesszük a függvény határértékét.

Tegyük fel tehát, hogy egy x0 pontban lenne, csak ez lemaradt a kérdésből.

Két értelmezést vizsgálok, mindkét esetben "nem" a válasz.

1. értelmezés: Ha adott egy e szám, amelyhez van a fent leírt x, akkor ellenpélda az e/2*sgn(x) a 0 helyen, mert ott minden x-re igaz a feltétel, mégsincs limesz.

2. értelmezés: Ha MINDEN e számra teljesül ez, akkor sem igaz, mert ha pl. az x+sgn(x) függvényt nézem a 0 helyen, határértéke nincs, de ha 2-nek veszem L-et, akkor az x=1 minden e esetén teljesíti, hogy

|f (x) - L| = |f (1) - 2|=0.

Szerintem inkább józanul matekozz.

Arra gondolsz, hogy \forall\epsilon\in\mathbf{R},x_0\in Dom(f),L=f(x_0):\exists x\in Dom(f), ||f(x)-L||<\epsilon, akkor \lim_{x\to x_0}f(x)=L? Mert ez definíció.