Érettségi feladat volt, nem tudom mikor, de ha minden igaz, felsőfokon matematikából. A megoldására lenne szükségem. Milyen megoldásmenettel kezdjek hozzá? (többi lent)

Ez három egyenlet három ismeretlennel.

A négyzet oldala d, és legyen az F pont távolsága az A-ban találkozó két szomszédos négyzetoldaltól x és y.

Ezekkel 3 Pithagorasz-tétel felírható:

x^2+y^2=7^2

(d-x)^2+y^2=13^2

x^2+(d-y)^2=17^2

Az elsőt kivonjuk a másik kettőből:

d^2-2dx=169-49=120

d^2-2dy=289-49=240

Kifejezhetjük x-et és y-t:

x=d-120/d

y=d-240/d

ezeket beírva az elsőbe:

(d-120/d)^2+(d-240/d)^2=49

Ez egy negyedfokú, de visszavezethető másodfokú egyenletre. Nem egész jön ki így, de nézd át a számolásaimat, de az elv jó.

Matekhoz sosem értettem, de szerintem úgy meglehetne, hogy:

A csúcsok koordinátáit elnevezzük: A csúcs: (xa,ya) ugyanígy a másik háromnál is és az F-nél is: (xf,yf). Ha koordinátarendszerként fogjuk fel, akkor fel lehet azt írni Pithagorasz képletének segítségével, hogy:

(xf-xa)^2+(yf-ya)^2=49

(xf-xb)^2+(yf-yb)^2=169

(xf-xc)^2+(yf-yc)^2=289

(xf-xd)^2+(yf-yd)^2=z

Ez így még vagy 9 ismeretlen, még ha az egyik párnak adunk is értéket, vagyis még valamit fel kell hozzá írni hogy egyenletrendszerként megoldható legyen. Például:

ya-yb=yd-yc, vagyis hogy a két oldal ugyanakkora és így tovább:

xc-xb=xd-xa de mivel négyzet így minden oldala egyenlő:

xc-xb=xd-xa=ya-yb=yd-yc

Ezt felhasználva már fel lehet úgy írni a fentebbi 4 sort, hogy csak 6 ismeretlen van benne, ami már egy fokkal jobb, de még mindig nem megoldható. Kell még valami:

xa=xb, xc=xd, ya=yd, yb=yc, vagyis hogy a koordinátarendszerben a négyzet oldalai merőlegesek vagy párhuzamosak a tengelyekkel. Ezzel kiesik még 2 vagyis így már csak 4 ismeretlen van a 4 egyenlethez ami így már megoldható. Én ehhez az egyenletrendszerhez jutottam menet közben (ami nem biztos hogy a legegyszerűbb), az xf-et és yf-et 0-nak választás után (vagyis a fa a koordinátarendszer közepe):

(-xa)^2+(-xa-xc+yb)^2=49

(-xa)^2+(-yb)^2=169

(-xc)^2+(-yb)^2=289

(-xc)^2)+(-xa-xc-yb)^2=z

Ezt a már tanult módszerekkel le lehet vezetni de sok idő (ezért írtam, hogy nem a legegyszerűbb, látok rá esélyt hogy ki lehetett volna máshogy is fejezni a 4 egyenletet amit könnyebb megoldani...), így inkább betoltam egy programba ami kiszámolta: [link]

Itt az "a" az xa, a "b" az yb, a "c" az xc a "z" meg a z. Négy eredményt dobott, ami igazából 2 csak az előjelek fel vannak cserélve. Az egyik helyes a másik nem. Kézzel történő levezetés során a végére esélyes, hogy meg lehet mondani, hogy melyik lesz valós eredmény, így meg csak az alapján hogy behelyettesítgetjük őket. A d=985 sorok nem elfogadható eredmények, hiszen a d itt tulajdonképpen az FD^2 (amit nem adtak meg), vagyis FD=31,39 méter de ez csak úgy lenne lehetséges, ha a fa kívül van a négyzeten. Ebből már lehet tudni egy oldalát a négyzetnek, abból meg már számolható terület.