Négyzet alakú bádoglemez oldala 5dm. A sarkaiból egybevágó négyzeteket vágunk le. A megmaradó sézből dobozt készítünk. Mekkorának mekkorának válasszuk a levágott négyzetek oldalát, hogy a doboz térfogata maximális legyen?

Akkor dobozoljunk!

Legyen

a - a kiinduló lemez oldala

x - a kivágott négyzetek oldala

Ezekkel a jelölésekkel a hajtogatás utáni térfogat

V = (a - 2x)²*x

Négyzetre emelés után

V = (a² - 4ax + 4x²)*x

Felbontva a zárójelet

V = a²x - 4ax² + 4x³

illetve

V = 4x³ - 4ax² + a²x

Az első derivált

V' = 12x² - 8ax + a²

Ez egyenlő nullával

0 = 12x² - 8ax + a²

Gépiesen be lehet helyettesíteni a megoldó képletbe, de lehet másként is

Egy kis trükkel teljes négyzetté, majd szorzattá alakítható a jobb oldal.

Ehhez hozzáadunk a jobb oldalhoz nullát, (4x² - 4x²) formában, vagyis

0 = (12x² + 4x² - 8ax + a²) - 4x²

A zárójelben teljes négyzet van, így

0 = (4x - a)² - 4x² = (4x - a)² - (2x)²

A nevezetes szorzatot felhasználva

0 = (4x - a - 2x)(4x - a + 2x)

Összevonás után

0 = (2x - a)(6x - a)

Innen a két gyök

Az első

2x - a = 0

x = a/2

A második

6x - a = 0

x = a/6

Az első nem jó, mert ezzel nulla alapterület adódik.

Marad a második, tehát a megoldás

x = a/6

=======

Mikor idáig jutottam, mikor rájöttem, van egyszerűbb megoldás is.

Ehhez ne a kivágott négyzetek oldalát, hanem a kivágás után megmaradt oldalhosszt válasszuk változónak, ami legyen 'b'.

Ezzel a kivágott négyzetek oldala

x = (a - b)/2

Így a térfogat

V = b²x

V = b²(a - b)/2

A zárójelet felbontva

V = (1/2)(ab² - b³)

A derivált

V' = (1/2)(2ab - 3b²)

V' = 0

0 = 2ab - 3b²

3b² = 2ab

Egyszerűsítés után

b = 2a/3

Ezzel a kivágandó négyzet oldala

x = (a - 2a/3)/2 = (a/3)/2

x = a/6

=====

Bár nem része a kérdésnek, a keletkező térfogat

V = b²x

V = (4a²/9)(a/6) = 4a³/54 = 2(a³/27)

V = 2(a/3)³

========

"(- Kettőbe vágtad édes Lajosom?

(- Nem, háromba)"

Nekem csak két megoldás jutott eszembe, a harmadikat másra bízom.:-)

DeeDee

**********