Mátrixokkal kapcsolatban egy kis segítség?

Mivel az 1. és 2. sor független egymástól, így a mátrix rangja legalább 2.

Akkor lesz a rangja pontosan 2, ha a 3. sor nem független az első kettőtől.

Ezt kétféleképpen lehet felírni.

alfa * row1 + béta*row2 = row3

Egyenletnek van megoldása.

Vagy

alfa * row1 + béta*row2 + gamma * row3=0 egyenletnek van olyan megoldása, ahol alfa, béta, gamma nem mind 0.

Mondjuk írjuk fel az elsőt:

alfa * (1,1,-1) + béta*(-1,2,1) = (t-3,3,3)

Áttérek a és b-re:

(a,a,-a) + (-b,2b,b) = (t-3,3,3)

(a-b, a+2b, -a+b) = (t-3,3,3)

Ez akkor egyenlő, ha mindhárom koordináta egyenlő:

a-b = t-3

a+2b=3

-a+b=3

Utolsóból:

b=a+3

Elsőbe ezt beírva:

a-(a+3)=t-3

-3=t-3

t=0

Tehát t=0 esetén a mátrix rangja 2.

2) A*A=A?

Felírod A*A-t:

(i,j) mezőbe az i. sor és j. oszlop szorzata kerül

A*A =

[(x,8)*(x,y), (x,8)*(8,7)

(y,7)*(x,y), (y,7)*(8,7)

]

A*A =

[

x^2+8y, 8x+56

xy+7y, 8y+49

]

Ez akkor egyenlő A-val, ha minden eleme egyenlő

x^2+8y=x

8x+56=8

xy+7y=y

8y+49=7

2-ból:

8x+56=8

8x=-48

x=-6

4-ből:

8y+49=7

8y=-42

y = -21/4

Ezt vissza kell helyettesíteni és elvégezni a szorzást:

(-6, 8)

(-21/4, 7)

Ha elvégzed a szorzást, akkor látod, hogy A*A tényleg A lett.

1. feladat:

Első körben azzal lenne érdemes kezdeni, hogy mikor lesz a determináns 0, mivel ha nem lenne a determináns 0, akkor a mátrix rangja 3 lenne. Tehát számoljuk ki a mátrix determinánsát a Sarrus-szabály segítségével:

pozitív átlók: 1*2*3 + 1*1*(t-3) + (-1)*(-1)*3 = 6+t-3+3 = 6+t

negatív átlók: 1*1*3 + 1*(-1)*3 + (-1)*2*(t-3) = 3-3-2t+6 = 6-2t

Ezek különbsége: 6+t-(6-2t) = 3t, ennek kell 0-nak lennie: 3t=0, vagyis t=0, ez azt jelenti, hogy csak t=0 esetén nem lesz a mátrix rangja 3, így az már csak 1 vagy 2 lehet.

Tehát most a

( 1 1 -1 )

(-1 2 1 )

(-3 3 3 ) mátrixot vizsgáljuk. Elvégezzük rajta a Gauss-eliminációt, és azt kapjuk, hogy csak egy nullsorunk lesz, tehát a mátrix rangja valóban 2.

2. feladat:

Nincs más dolgunk, mint a megadott szorzatot elvégezni;

bal felső: x*x+8*y = x^2+8y

jobb felső: x*8+8*7 = 8x+56

bal alsó: y*x+7*y = xy+7y

jobb alsó: y*8+7*7 = 8y+49

Tehát a kapott eredménymátrix:

(x^2+8y ; 8x+56)

(xy+7y ; 8y+49)

Ennek a mátrixnak kell megegyeznie A-val. Két mátrix akkor egyenlő, hogyha bennük ugyanazon a helyen ugyanaz a szám áll, tehát fel tudjuk írni ezt az egyenletrendszert:

x^2+8y = x }

8x+56 = 8 }

xy+7y = y }

8y+49 = 7 }

Szerencsére ezek között van két olyan egyenlet, amelyek rögtön megadják x és y értékét, a többibe csak be kell helyettesíteni, hogy a kapott számok azokat is igazzá teszik-e. Ha igen, akkor azon x és y esetén lesz A*A=A, ha nem, akkor nem léteznek ezek a számok.