Hogyan bizonyítjuk be a kör kerület, és terület képletét?

Nekem ez anno nagyon sokat segített:

[link]

Legegyszerűbben integrálszámítással és polárkoordináták segítségével. Néhány sor az egész, lássuk tehát:

Kerület:

Tekintsünk az x-y koordinátarendszerben egy elemi di ivhoszt. Ennek kiszámítása: di=gyök(dx^2+dy^2).

Bevezetjük az x=r*cos(fi); y=r*sin(fi) polárkoordinátákat, ahol r konstans most a kör miatt.

Ebből egyszerű deriválással adódik hogy di=r*dr. (Aki magasabb szinten foglalkozott már ezzel, ő bizonyára ezt úgy tanulta, hogy itt az r-es szorzó a Jacobi-mátrix determinánsának abszolútértéke, de ez most mellékes...)

Na tehát akkor a teljes ivhosszhoz ezt integráljuk 0-tól 2pi-ig, ebből triviálisan adódik hogy K=2pi*r.

Terület: Itt már azonnal polárkoordinátában érdemes dolgozni. Tehát most R(fi)-fi rendszerben dolgozik. Tekintsünk infinitezmálisan kicsiny dfi és dR megváltozást, ekkor az R(fi) vektor az R(fi+dfi) vektorba megy át, miközben dfi szöggel fordul odább.

Az elemi terület tehát dT=dR*R*dfi, ekkora területet súrol a vektor végpontja.

Ezt kell tehát integrálni R=0-tól r-ig és 0-tól 2fi-ig (kettős integrál)

Ebből azonnal direktben kapjuk hogy T=pi*R^2.

Remélem tudtam segíteni.

Evvel a módszerrel bármilyen (megfelelő föltételeknek eleget tévő) görbe ivhossza, bezárt területe számítható.

Csa érdekességképp, hogy pl. az ellipszis területére is zárt képlet vezethető le. A kerületére viszont nem, mivel elliptikus integrálok jönnek be, aminek nincsen zárt megoldása.

Remélem érthető.

Ja, előző válaszomhoz annyi, hogy ki lehet használni a szimmemtriát. Tehát elég lenne csak 0-tól pi/4-ig integrálni, és az eredményt 4-el szorozni.

Ez most itt nem sokat jelent. De ha valaki olyan elvetemült lenne, hogy nem tér átt polárkoordinátákra, akkor az integrációs határok bonyolult gyökös kifejezések lesznek. A szimmetria felhasználásával az egyik integrációs határ viszont zérus lesz.

Akit érdekel, kiszámíthatja így is persze, kb. 2-3 oldal levezetés, és helyettesítéses integrálszámítást kell végezni.