Valaki levezeti nekem? (matek) próbálkozok már egy ideje, de nem jövök rá. Feladatról kép a leírásban

Első körben azt kell megnézni, hogy a törtet tudod-e egyszerűsíteni úgy, hogy olyan kifejezést kapj, ami már értelmes lesz a megadott számmal, például a

lim (x^2+x)/(2x)

x->0

kifejezés osztható x-szel, ekkor:

lim (x+1)/2

x->0

és ebbe már be tudod írni 0 értékét, és 1/2-et kapsz.

Ennél a feladatnál erre nem lesz mód, mivel a számlálónak nem gyöke a 2, emiatt valaminem0szám/0 alakú a határértékünk, erről pedig tudjuk, hogy vagy +végtelen, vagy -végtelen, vagy nem létezik. Most jobb oldali határértéket vizsgálunk, szóval létezni fog, már csak az a kérdés, hogy a végtelen előjele mi lesz, ezt pedig onnan fogjuk tudni, hogy mi lesz a számláló és a nevező előjele;

számláló: 2^2-5*2+3=-3, ez negatív

nevező: ha beírjuk a 2-t, akkor 0-t kapunk, értelemszerűen ezzel nem tudunk túl sokat kezdeni. Azt tudjuk, hogy 2-nél "nem sokkal" nagyobb számot írunk be x helyére, ezért érdemes lenne megvizsgálni, hogy 2-nél nagyobb számokra hogyan viselkedik a nevező. Tudjuk, hogy gyöke a 2, így könnyen rá tudunk jönni, hogy a másik gyök 7 lesz (mivel 1*2*7=14), tehát felírható (x-2)*(x-7) alakban. Látható, hogy ha 2-nél "nem sokkal nagyobb" számot írunk be, amiről azért nem nehéz eldönteni, hogy 7-nél kisebb, akkor azt látjuk, hogy x-2 előjele pozitív, míg x-7 előjele negatív, tehát a szorzat negatív előjelű lesz.

számláló/nevező=negatív/negatív=pozitív, tehát a fenti határérték +végtelen lesz.

Hol akadsz el?

Itt a kérdés az, hogy ha 2-höz a pozitív oldaláról tartunk, akkor mi lesz a függvény határértéke? A 2 pedig onnan jön, hogy ha megnézed a törtet, akkor az x=2 pontban nincs értelmezve, mivel itt 0 a tört nevezője.

Két oldalról akkor szoktunk határértéket vizsgálni, ha abban a pontban szakadása van a függvénynek (lásd előbb, hogy miért), így a kérdés, amin el kell gondolkozni igazából már csak az, hogy +végtelen vagy -végtelen lesz a határértéke pozitív oldalról nézve.

Akkor gondolkodjunk:

Ha a számlálóba behelyettesítünk 2-őt, akkor -3 jön ki. Ez eddig oké, nincs semmi probléma.

Ha a nevezőbe behelyettesítjük a 2-őt, akkor viszont 0 jön ki, na ebből aztán nem sokat tudunk mondani! - Viszont nekünk valójában nem a 2-őt kell behelyettesítenünk, hanem egy 2-nél nagyobb számot, hiszen mi csak megközelítjük a 2-őt a pozitív oldaláról. Mi van a 2 pozitív oldala felől? Hát mondjuk a 3! Behelyettesítve a hármat egy negatív számot kapunk végeredményül a nevezőben. A nevező tehát negatív!

Akkor döntsenek az előjelek: negatív számot osztunk egy negatív számmal: A végeredmény végtelen.

Gondolom érezhető, hogy ez tisztán analitikus gondolkodás csak, teljesen mindegy milyen számok jönnek ki a számlálóban és a nevezőben, csak az előjelük számít, abból tudtunk következtetéseket levonni.

Lehet hülyeséget mondok de L'hospital szabállyal az eredmény 1/5-lesz

Mivel teljesül a 0/0 vagy végtelen/végtelen így a L' szabály alkalmazható elméletileg.

#4-nek:

Hát nem lehet, hanem biztos hogy hülyeséget mondasz.

El kéne olvasni a feladatot, és akkor látnád, hogy nem 0/0 típusú a példa.

Mellesleg ha az olvasásóra nem maradt volna ki még általánosból, akkor tudnád, hogy az előző válaszolók kiszámították hogy a számláló -3 lesz.

Sőt árnyaltan rá is mutattak arra, hogy nem lehet használni az L'Hospital szabályt.

De nyílván mindezt semmibe vetted, és az előzmények ismerete nélkül terjesztetted a saját butaságod. Köszönjük Emese...

#4: x=2-ben nem vehet fel semmilyen y értéket a függvény, hiszen abban a pontban szakad, így 1/5 vagy bármilyen valós szám biztosan hibás eredmény. Ezek után, mint feljebb írtam már, a kérdés csak az lehet, hogy két oldalról hogyan közelíti meg a függvény az x=2 pontot: vagy +végtelenbe megy vagy -végtelenbe.

Gondolj bele: Ha egy valós szám jönne ki kétoldali határértéknek, akkor azt a két pontot képzeletben össze tudnád kötni, márpedig ha összekötöd (ezt nevezik egyébként megszüntethető szakadásnak), akkor x=2-ben felvesz valamilyen y értéket, ami ellentmondás, hiszen a tört miatt nem lehet ott értelmezve.

A hiba az elméletedben az, hogy az L'Hospital-szabályt csak a 0/0 (vagy végtelen/végtelen) típusú esetekre lehet használni, ez pedig szám/0.