Egy szimmetrikus trapez tompaszogei 110 fokosak. A hosszabbik alapja 20cm hosszu. A magassaga 11cm. Mekkorak a szarai? Mekkora a kerulete es a terulete? Mekkorak a szogei?

Úgy tűnik, senki sem mer nekivágni ennek a "nehéz" feladatnak.

Azért fussunk neki, lássuk mire megyünk. :-)

Mit tudunk?

Adott egy szimmetrikus trapéz

a = 20 cm - a hosszabbik alap

m = 11 - a trapéz magassága

ß = 110° - a rövidebb alapon fekvő szögek

Mit keresünk?

c = ? - a rövidebb alap

b = ? - a trapéz szára

K = ? - a trapéz kerülete

T = ? - a trapéz területe

α = ? - a hosszabbik alapon fekvő szögek

A legegyszerűbb a szögeket elintézni

Mivel az egy száron fekvő szögek összege 180°, azaz

α + ß = 180°

ezért

α = 180 - 110

α = 70°

Szimmetrikus idomról lévén szó, a hosszabbik alapon fekvő mindkét szög ekkora.

Most pedig jön egy merész egy húzás...

A rövidebb alap és az egyik szár metszéspontjából merőlegest húzunk a hosszabbik alapra, így kapunk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek

átfogója a trapéz szára,

a hosszabbik befogója a trapéz magassága,

a rövidebb befogó pedig a két alap különbségének fele, ez legyen d = (a - c)/2,

és a hosszabbik befogóval szemközti szög α.

Ebben a háromszögben minden megvan a megoldáshoz!

Lássuk!

A szárak (b) hossza

Mivel

sinα = m/b

ezért

b = m/sinα

========

A rövidebb alap (c)

tgα = m/d

ebből

d = m/tgα

A szimmetria miatt

c = a - 2d

c = a - 2m/tgα

***************

Ezek után a kerület

K = a + c + 2b

==========

A terület

T (a + c)*m/2

==========

Most már minden ismert, lehet behelyettesíteni.

Ha van kedved egy kis algebrai kalandra, akkor az utóbbi két érték kiszámítására a következő két összefüggést kaphatod:

K = 2[a + m*tg(α/2)]

és

T = m(a - m/tgα)

DeeDee

**********